Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/5/Aufgabe/Lösung

Wir fragen uns, ob

${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}>{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}\,$

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

${}3+10+2{\sqrt {30}}={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\right)}^{2}>{\left({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}=5+7+2{\sqrt {35}}\,.$

Dies ist durch Subtraktion mit ${}12$ äquivalent zu

${}1+2{\sqrt {30}}>2{\sqrt {35}}\,.$

Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu

${}1+4\cdot 30+4\cdot {\sqrt {30}}={\left(1+2{\sqrt {30}}\right)}^{2}>4\cdot 35=140\,.$

Dies ist äquivalent zu

${}4{\sqrt {30}}>19\,.$

Quadrieren liefert

${}480=16\cdot 30>19^{2}=361\,,$

was stimmt. Also ist

${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}>{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe