Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt

In einem angeordneten Ring gelten die folgenden Eigenschaften.

1. ${}1\geq 0$.
2. Es ist ${}a\geq 0$ genau dann, wenn ${}-a\leq 0$ ist.
3. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}a-b\geq 0$ ist.
4. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}-a\leq -b$ ist.
5. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq d$ folgt ${}a+c\geq b+d$.
6. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq 0$ folgt ${}ac\geq bc$.
7. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ folgt ${}ac\leq bc$.
8. Aus ${}a\geq b\geq 0$ und ${}c\geq d\geq 0$ folgt ${}ac\geq bd$.
9. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\leq 0$.
10. Aus ${}a\leq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\geq 0$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen