Angeordneter Ring/Modul/Quadratische Form/Positiv definit/Cauchy-Schwarz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Form

${}\left\langle v,w\right\rangle =Q(v+w)-Q(v)-Q(w)\,$

ist bilinear und nach Voraussetzung positiv definit. Deshalb ist

${}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle \left\langle w,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle w,\left\langle w,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle w\right\rangle \\&=\left\langle w,w\right\rangle ^{2}\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}-\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}+\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle w,w\right\rangle ^{2}\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle w,w\right\rangle {\left(\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,v\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\right)}.\end{aligned}}$

Bei ${}w=0$ ist die zu beweisende Aussage richtig, sei also ${}w\neq 0$. Wegen der positiven Definitheit ist dann

${}\left\langle w,w\right\rangle >0\,,$

woraus

${}\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\leq \left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle =2Q(v)\cdot 2Q(w)=4Q(v)Q(w)\,$

folgt.

Zur bewiesenen Aussage