Angeordneter Ring/Z/Positiv negativ 0/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die ganzen Zahlen mit der Ordnung ${}\preccurlyeq$, bei der

${}0\preccurlyeq \mathbb {Z} _{-}\preccurlyeq \mathbb {Z} _{+}\,$

gilt und die auf den Teilmengen ${}\mathbb {Z} _{-}$ und ${}\mathbb {Z} _{+}$ mit der Ordnung ${}\leq$ übereinstimmt.

1. Zeige, dass ${}\preccurlyeq$ eine totale Ordnung auf ${}\mathbb {Z}$ ist.
2. Zeige, dass mit ${}0\preccurlyeq x,y$ auch

   ${}0\preccurlyeq x+y\,$

   gilt.

3. Zeige, dass mit ${}0\preccurlyeq x,y$ auch

   ${}0\preccurlyeq x\cdot y\,$

   gilt.

4. Ist ${}(\mathbb {Z} ,\preccurlyeq )$ ein angeordneter Ring?

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