Approximation/Ein Drittel/Beliebiges k/Aufgabe/Lösung

Wir müssen die Abschätzungen

${}\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}\leq {\frac {1}{3}}<\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}+{\frac {1}{10^{-k}}}\,$

nachweisen. Wir schreiben diese Bedingung als

${}{\frac {\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{k-i}}{10^{k}}}\leq {\frac {1}{3}}<{\frac {\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{k-i}+1}{10^{k}}}\,.$

Um dies zu zeigen multiplizieren wir über Kreuz. Für die linke Seite erhalten wir

${}3{\left(\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{k-i}\right)}=9\cdot \sum _{j=0}^{k-1}10^{j}<10^{k}\,,$

wobei die letzte Abschätzung auf Fakt

beruht. Wenn man zu ${}9\cdot \sum _{j=0}^{k-1}10^{j}$ die Zahl ${}3$ hinzuaddiert, so erhält man ${}10^{k}+2$, was die zweite Abschätzung ergibt.

Zur gelösten Aufgabe