Archimedisch angeordneter Körper/Rationale Zahlen liegen dazwischen/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen ${}y>x$ ist ${}y-x>0$ und daher gibt es nach Fakt ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit ${}{\frac {1}{k}}<y-x$. Nach Fakt gibt es auch ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}n{\frac {1}{k}}>x\,$

und ein ${}n'\in \mathbb {Z} _{-}$ mit

${}n'{\frac {1}{k}}\leq x\,.$

Daher gibt es auch ein ${}n\in \mathbb {Z}$ derart, dass

$n{\frac {1}{k}}>x\,\,{\text{ und }}\,\,(n-1){\frac {1}{k}}\leq x$

ist. Damit ist einerseits

${}x<{\frac {n}{k}}\,$

und andererseits

${}{\frac {n}{k}}={\frac {n-1}{k}}+{\frac {1}{k}}<x+y-x=y\,$

wie gewünscht.

Zur bewiesenen Aussage