Archimedische Spirale/Eine Umdrehung/Länge/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung der Kurve ist

$\left(\cos t-t\sin t,\,\sin t+t\cos t\right).$

Die Norm davon ist die Wurzel aus

${}{\begin{aligned}{\left(\cos t-t\sin t\right)}^{2}+{\left(\sin t+t\cos t\right)}^{2}&=\cos ^{2}t-2t\cos t\sin t+t^{2}\sin ^{2}t+\sin ^{2}t+2t\sin t\cos t+t^{2}\cos ^{2}t\\&=1+t^{2}.\end{aligned}}$

Daher ist der Länge der archimedischen Spirale nach Fakt gleich

${}{\begin{aligned}L(f)&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {1+t^{2}}}dt\\&=[{\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {x^{2}+1}}+\,\operatorname {arsinh} \,x\,\right)}]_{0}^{2\pi }\\&=\pi \cdot {\sqrt {4\pi ^{2}+1}}+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {arsinh} \,2\pi \,.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe