Arithmetisches und geometrisches Mittel/Jensensche Abschätzung/Aufgabe/Lösung

Da der natürliche Logarithmus konkav ist, gilt mit der konkaven Version der Jensenschen Ungleichung und mit den Koeffizienten

${}t_{i}={\frac {1}{n}}\,$

die Beziehung

${}\ln \left({\frac {1}{n}}x_{1}+{\frac {1}{n}}x_{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}x_{n}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}\ln x_{i}\,.$

Wir wenden darauf die Exponentialfunktion und dann zweimal die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion an und erhalten

${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}&\geq \exp \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}\ln x_{i}\right)\\&=\prod _{i=1}^{n}\exp \left({\frac {1}{n}}\ln x_{i}\right)\\&=\prod _{i=1}^{n}{\sqrt[{n}]{\exp \left(\ln x_{i}\right)}}\\&=\prod _{i=1}^{n}{\sqrt[{n}]{x_{i}}}\\&={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe