Ausdrücke erster Stufe/Über Alphabet/Rekursiv/Definition

Ausdruck in einer Sprache erster Stufe

Es sei ein Alphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Dann nennt man die folgenden rekursiv definierten Wörter über diesem Alphabet die Ausdrücke dieser Sprache.

1. Wenn ${}t_{1}$ und ${}t_{2}$ Terme sind, so ist

   ${}t_{1}=t_{2}\,$

   ein Ausdruck.

2. Wenn ${}R$ ein ${}n$-stelliges Relationssymbol ist und ${}t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme sind, so ist

   $Rt_{1}{\ldots }t_{n}$

   ein Ausdruck.

3. Wenn ${}\alpha$ und ${}\beta$ Ausdrücke sind, so sind auch

   $\neg {\left(\alpha \right)},\,{\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\vee {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\leftrightarrow {\left(\beta \right)}$

   Ausdrücke.

4. Wenn ${}\alpha$ ein Ausdruck und ${}x$ eine Variable ist, so sind auch

   $\forall x{\left(\alpha \right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\exists x{\left(\alpha \right)}$

   Ausdrücke.