Ausdrucksmenge/Endlich/Widersprüchlich/Teilmengen nicht/Aufgabe/Lösung

Bei ${}n=1$ kann man für ${}\alpha$ jede widersprüchliche Aussage, beispielsweise ${}p\wedge \neg p$ nehmen. Es sei also ${}n\geq 2$. Es seien ${}p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n-1}$ (verschiedene) Aussagenvariablen. Wir setzen

${}\alpha _{1}=p_{1}\,,$

${}\alpha _{i}=p_{i-1}\rightarrow p_{i}\,$

für ${}2\leq i\leq n-1$ und

${}\alpha _{n}=p_{n-1}\rightarrow \neg p_{1}\,.$

Die Menge ${}\Gamma$ ist widersprüchlich, da man aus ${}\Gamma$ durch mehrfache Anwendung der Kettenschlussregel und des Modus ponens

$\Gamma \vdash \neg p_{1}$

erhält, was ein Widerspruch zu ${}p_{1}\in \Gamma$ ist. Es sei nun

${}\Delta =\Gamma _{i}\setminus \{\alpha _{i}\}\,.$

Wir müssen zeigen, dass ${}\Delta _{i}$ widerspruchsfrei ist, wofür es genügt, eine erfüllende Wahrheitsbelegung anzugeben. Es sei ${}i$ fixiert. Dann erfüllt die Wahrheitsbelegung, bei der jede Variable ${}p_{j}$ mit ${}j\leq i$ als wahr und jede Variable ${}p_{j}$ mit ${}j>i$ als falsch belegt wird, die Menge ${}\Delta _{i}$, da für die ${}\alpha _{j}$ mit ${}j<i$ Vorder-und Nachsatz wahr belegt sind und da für die ${}\alpha _{j}$ mit ${}j>i$

der Vordersatz falsch belegt ist.

Zur gelösten Aufgabe