Aussagenlogik/Ableitung/Externe und interne Implikation/Aufgabe/Lösung

Die Ableitungsbeziehung

$\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$

bedeutet, dass es Ausdrücke ${}\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}\in \Gamma$ mit

$\vdash \gamma _{1}\wedge \ldots \wedge \gamma _{n}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$

gibt. Aufgrund der aussagenlogischen Tautologie

$\vdash {\left(\varphi \rightarrow {\left(\psi \rightarrow \theta \right)}\right)}\leftrightarrow {\left(\varphi \wedge \psi \rightarrow \theta \right)}$

ist dies äquivalent zu

$\vdash \gamma _{1}\wedge \ldots \wedge \gamma _{n}\wedge \alpha \rightarrow \beta .$

Dies bedeutet gerade

$\Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta .$

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