Aussagenlogik/Ausdrucksmenge abgeschlossen und Alternative für Variablen/Maximal widerspruchsfrei/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen zuerst durch Induktion über den Aufbau der Sprache, dass für jedes ${}\alpha \in L^{V}$ die Alternative ${}\alpha \in \Gamma$ oder ${}\neg \alpha \in \Gamma$ gilt. Daraus folgt die maximale Widerspruchsfreiheit. Für ${}\alpha =p$ eine Aussagenvariable ist dies Teil der Voraussetzung. Bei ${}\alpha =\neg \beta$ folgt wegen ${}\vdash \neg {\left(\neg \beta \right)}\leftrightarrow \beta$ die Aussage aus der Induktionsvoraussetzung, da ${}\Gamma$ abgeschlossen unter Ableitungen ist. Es sei nun ${}\alpha =\beta \wedge \gamma$. Bei ${}\beta \in \Gamma$ und ${}\gamma \in \Gamma$ ist wegen der Ableitungsabgeschlossenheit auch ${}\beta \wedge \gamma \in \Gamma$. Wenn hingegen ${}\beta \notin \Gamma$ ist, so folgt nach der Induktionsvoraussetzung ${}\neg \beta \in \Gamma$. Aufgrund der Tautologie ${}\vdash \neg \beta \rightarrow \neg {\left(\beta \wedge \gamma \right)}$ ergibt sich ${}\neg \alpha =\neg {\left(\beta \wedge \gamma \right)}\in \Gamma$. Der Beweis für die Implikation verläuft ähnlich, siehe Aufgabe.

Zum Nachweis, dass ${}\Gamma$ maximal widerspruchsfrei ist, sei ${}\alpha \notin \Gamma$ angenommen. Nach dem, was wir eben bewiesen haben, gilt dann ${}\neg \alpha \in \Gamma$. Dann ist aber ${}\alpha ,\neg \alpha \in \Gamma \cup \{\alpha \}$ und somit ist diese erweiterte Menge widersprüchlich.

Zur bewiesenen Aussage