Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Maximal widerspruchsfrei/Erfüllbar/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}\Gamma$ maximal widerspruchsfrei ist, gilt nach Fakt  (1) für jede Aussagenvariable die Alternative ${}p\in \Gamma$ oder ${}\neg p\in \Gamma$. Wir betrachten die Wahrheitsbelegung

${}\lambda (p)={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}p\in \Gamma \,,\\0\,,{\text{ falls }}\neg p\in \Gamma \,,\end{cases}}\,$

mit der zugehörigen Interpretation ${}I$. Wir behaupten

${}I^{\vDash }=\Gamma \,,$

was wir über den Aufbau der Sprache beweisen. Der Induktionsanfang ist durch die gewählte Belegung gesichert, der Induktionsschritt folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage