Aussagenvariablen/Gleichung mit Variablen/Einbettung/Aufgabe

Es sei ${}p_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Aussagenvariablen und ${}L$ die zugehörige aussagenlogische Sprache. Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet bestehend aus den Variablen ${}x_{i}$, ${}i\in I$, und dem einen Konstantensymbol ${}c$ und es sei ${}L^{S}$ die zugehörige prädikatenlogische Sprache. Es sei

${}\beta _{i}:=x_{i}=c\in L^{S}\,.$

1. Definiere rekursiv eine natürliche Abbildung

   $\Psi \colon L\longrightarrow L^{S},$

   die ${}p_{i}$ auf ${}\beta _{i}$ abbildet.

2. Ist ${}\Psi$ injektiv?
3. Ist ${}\Psi$ surjektiv?
4. Zeige für alle ${}\alpha \in L$, dass ${}\vdash \alpha$ (im Ableitungskalkül der Aussagenlogik) genau dann gilt, wenn ${}\vdash \Psi (\alpha )$ (im Ableitungskalkül der Prädikatenlogik) gilt.

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