Basiswechsel/123/471/025 und 024/661/35-2/Punkt mit Koordinaten 254/Allgemein/Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\7\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}6\\6\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\5\\-2\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Zeige, dass sowohl ${}{\mathfrak {v}}$ als auch ${}{\mathfrak {u}}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist.

b) Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$ derjenige Punkt, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}(2,5,4)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel

von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$ beschreibt.

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