Bayessche Formel/Komplementäres Ereignis/Komplementärformel/Aufgabe/Lösung

Nach der Bayesschen Formel gilt

${}P(B{|}A)={\frac {P(B)\cdot P(A{|}B)}{P(B)\cdot P(A{|}B)+P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}}\,$

und ebenso unter Verwendung von ${}M\setminus {\left(M\setminus B\right)}=B$

${}{\begin{aligned}P(M\setminus B{|}A)&={\frac {P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}{P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)+P(B)\cdot P(A{|}B)}}\\&={\frac {P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}{P(B)\cdot P(A{|}B)+P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}}.\end{aligned}}$

Somit gilt

${}{\begin{aligned}{\frac {P(B{|}A)}{P(M\setminus B{|}A)}}&={\frac {P(B)\cdot P(A{|}B)}{P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}}\\&={\frac {P(B)}{P(M\setminus B)}}\cdot {\frac {P(A{|}B)}{P(A{|}M\setminus B)}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe