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\zwischenueberschrift{Anfänge einer Dreiecksgeometrie}

Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks.

\inputdefinition {Dreieck } {Ein geordnetes Tripel $a, b, c \in K^2${} heißt ein Dreieck, wenn die Ecken oder Eckpunkte $a, b, c${} nicht kollinear sind. Nach dem Drei-Punkte-Kriterium gilt also dann \mathdisp {[a, b, c]= 0} {.} }

\inputdefinition {} {Die Verbindungsgeraden von $a\lor b, \,\, b\lor c \text{ und } a\lor c${} heißen Seiten des Dreiecks $a, b, c${.}}

\inputbemerkung { } { \aufzaehlungvier{Mit $a, b, c${} sind alle durch Pärmutation entsprechende Tripel ebenfalls Dreiecke d.h. wenn drei Punkte nicht auf eine Gerade liegen man kann die beliebig Permutieren. }{Die Menge der Dreiecke im $K^2${} ist gegenüber affine Abbildungen invariant. }{Zu zwei Dreiecken $a, b, c \in K^2 \text{ und } a', b', c' \in K^2${} existiert genau eine affine Abbildung $f${} mit \mathdisp {f(a)=a', f(b)=b', f(c)=c'} {.} d.h. jedes Dreieck mit affiner Abbildung kann man überführen, alle Dreiecke sind affine äquvqlent. Wenn man eine affine Abbildung anwendet, das ein Dreieck auf einen Dreieck bildet und umgekehrt, wenn man zwei Dreiecke hat das sie sich durch eine affine Abbildung unterscheiden. }{Wenn $charK \ne 2${} hat, dann sind die Seitenmitten ein Dreiecks wohldefiniert \mathdisp {a'=\frac{1}{2}(b+c), \,\, b'=\frac{1}{2}(a+c), \,\, c'=\frac{1}{2}(a+b)} {}

$[a^\prime, b^\prime, c^\prime]=[a^\prime.b^\prime] + [b^\prime.c^\prime] + [c^\prime . a^\prime]${} (alternierende Funktion)

\einrueckung{$=det(a^\prime - b^\prime, b^\prime - c^\prime)${}}

\einrueckung{$=det \left(\frac{1}{2}(b+c) - \frac{1}{2}(a+c)\right),\left(\frac{1}{2}(a+c) - \frac{1}{2}(a+b)\right)${}}

\einrueckung{$=det \left(\frac{b+c-a-c}{2}\right),\left(\frac{a+c-a-b}{2}\right)${}}

\einrueckung{$=det \left(\frac{b-a}{2}\right),\left(\frac{c-b}{2}\right)${}}

\einrueckung{$= \frac{1}{4} det\left({b-a}),({c-b}\right)${}}

\einrueckung{$= \frac{1}{4}[a,b,c]${}}

Wegen $[a,b,c]=\frac{1}{4}[a,b,c]${} ist $a^\prime, b^\prime, c^\prime${} wieder ein Dreieck, das so genante Mittendreieck $a^\prime, b^\prime, c^\prime${.} } }

Eine Seitenhalbierende in einem Dreieck ist eine Strecke, die eine Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Da eine Seitenhalbierende die Dreiecksfläche halbiert, ist sie ein spezieller Median oder eine Schwerlinie. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem so genannten Schwerpunkt des Dreiecks. Dieser teilt jede der Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. Dabei ist die Strecke zwischen Schwerpunkt und Ecke länger als die Strecke zwischen Schwerpunkt und Seitenmittelpunkt.

%\begin{center} %\includegraphics[width=4cm]{Seitenhalbierende mit schwerpunkt.svg} %\end{center} \bildlizenz {Seitenhalbierende mit schwerpunkt.svg} {} {} {Commons} {} {} \inputdefinition {Seitenhalbierende } {Sei $charK\ne 2 \,\, \text{ und } \,\,\ a, b, c \in K^2${} ein Dreieck. Die Verbindungsgerade eines Eckpunktes mit der gegenüberliegenden Seitenmitte eines Dreiecks $a, b, c${} nennt man eine Seitenhalbierende. Die Seitenhalbierenden sind folgende Geraden: \mathdisp {S_a:=G_{ {a},\frac{1}{2}(b+c)-a } = G_{ {a}, {b+c-2a} }} {}

\mathdisp {S_b:=G_{ {b},\frac{1}{2}(a+c)-b } = G_{ {b}, {a+c-2b} }} {}

\mathdisp {S_a:=G_{ {c},\frac{1}{2}(a+b)-c } = G_{ {c}, {a+b-2c} }} {} }

\inputfaktbeweis {Benutzer:Abrankov/Fakt} {Proposition} { } {Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks sind paarweise verschieden. }

{Sei $S_a= S_b${.} Es folgt $b \in S_a${} und es existiert ein $\alpha \in K / \{ 0 \}${} mit \mathdisp {b=a+ \alpha (b+c-2a)} {}

\mathdisp {a-b+ \alpha (b+c-2a)=0} {}

\mathdisp {a-b+ \alpha b+ \alpha c - 2 \alpha a = 0} {}

\mathdisp {(1-2 \alpha )a +(\alpha-1 )b + \alpha c =0} {} Dieses ist eine Linearkombination von $a, b \,\, \text { und } \,\, c${} die Null ergibt. Betrachte nun die Summe der Koeffizienten \mathdisp {(1-2 \alpha)+(\alpha-1)+ \alpha =0} {} wegen $\alpha \ne 0${} gilt auch $(1-2\alpha, \alpha-1, \alpha) \ne 0${} damit sind $a, b \text { und } c${} kollinear. Dies ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung. Daher gilt $b \notin S_a \, \, \, \Rightarrow \, \, \, S_a \notin S_b${.} Analog zeigt man $S_a \notin S_c \text{ und } \,\, S_b \notin S_c${.} }

\inputfaktbeweis {Benutzer:Abrankov/Seitenhalbierende/} {Korollar } {} {Hat $K${} die $char = 3${,} so sind die drei Seitenhalbierenden in jedem Drerieck parallel und parweise verschieden. } {Man hat die Geraden gegeben durch Aufpunkten, $a${} in Richtungswektor $\frac{1}{2}(b+c)-a=b+c-2a=-2a=a${,} für die anderen beiden Seitenhalbierenden ist genauso, sie haben den gleichen Richtungswektor in $char 3${,} also sind parallel und das die paarweise verschieden sind haben wir schon in Proposition () gezeigt. }

\inputfaktbeweis {Benutzer:Abrankov/Schwerpunktsatz/Fakt} {Satz} {Schwerpunktsatz} {Sei $char \ne 2, 3${.} In jedem Dreieck $a, b, c \in K^2${} schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in genau einem Punkt $s${.} Dieser Punkt ist der Schwerpunkt eines Dreiecks.

\mathdisp {s:=S_{a,b,c}:= \frac{1}{3}(a,b,c)} {} } {Alle Punkte der Gerade $S_a${} haben die Form $a + \alpha (b+c-2a) \text{ mit } \alpha \in K${.} Sei $\alpha = \frac{1}{3}${.}

\alignier {s & = a+\frac{1}{3}(b+c-2a) \\ & = a+\frac{1}{3} b + \frac{1}{3} c - \frac{2}{3} a \\ & = \frac{3a+b+c-2a}{3} \\ & = \frac {1}{3}(a+b+c) \\} {}

Hieraus folgt $s \in S_a${.} Da sich $s${} bei Permutation von $a,b \,\, \text{und} \,\, c${} nicht ändert, gilt auch $s \in S_b${} und $s \in S_c${.} Mit der Proposition folgt die Bedingung. }

Wenn man die Proposition beachtet, erhält man zusammenfassend den Äquivalenzsatz.

\inputfakt{Benutzer:Abrankov/Äquivalenzsatz/Fakt}{Satz}{Äquivalenzsatz} {Für ein Körper $K${} mit $char \ne 2${} sind äquivalent: \aufzaehlungdrei{Es gibt ein Dreieck aus $K^2${,} in dem sich die drei Seitenhalbierenden in einem Punkt schneiden.

Es reicht überhaupt ein einziges zu haben für das das gilt, dann gilt es für jedes anderen auch das ist äquivalent wegen affine Abbildung.

}{In jeden Dreieck aus $K^2${} schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in einem Punkt. }{$char K \ne 3${.} } }

Wenn $char=3${,} dann sind die Seitenhalbierenden parallel und paarweise verschiedene und wenn $char \ne 3${,} dann schneiden sich in ein Punkt, das haben wir schon in Schwerpunktsatz gezeigt.

\zwischenueberschrift{Schwerpunkt von endlich viele Punkten}

Schwerpunkt von endlich viele Punkten ist nur eine Auswertung der ganze Sache von drei Punkte auf $n${} Punkte und man kann versuchen zu verallgemeinert. Man hat Schwerpunkt für $n-1${} und dann kriegt man eine Gerade durch einen Punkt und den Schwerpunkt.

\inputdefinition {Schwerpunkt von endlich viele Punkte} {Sei $n \in \N \text{ und } n \ge 3${.}

Ist die Charakteristik von $K${} kein Teiler von $n${} und sind nicht-kollineare Punkte $a_{1}, \ldots ,a_{n} \in K^2${} gegeben, dann nennt man \mathdisp {s:= \frac{1}{n}(a_{1}+ \ldots +a_{n})} {} den Schwerpunkt von $a_{1}, \ldots ,a_{n}${.}

Ist die Charakteristik von $K${} kein Teiler von $n-1${,} dann kann der Schwerpunkt von jeweils $n-1${} Punkten

\mathdisp {s_i:=\frac{1}{n-1}(a_{1}+ \ldots + \hat a_i +\ldots a_{n}) \,\, \text{ für } i=1, \ldots ,n} {} definiert werden. Dabei ist jeweils $a_i${} in der Summe wegzulassen.}

\inputfaktbeweis {Benutzer:Abrankov/Fakt/Parallele Geraden} {Proposition} { } {Ist $charK${} ein Teiler von $n${,} dann sind die Geraden $S_1,S_2,...,S_n${} alle parallel und haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. }

{Wegen $s_i-a_i= \frac 1 {n-1}(a_1 + ... + \hat a_i +...a_{n}-(n-1)a_i)=-(a_i+ ... + a_n)${} sind alle $S_i${} parallel. Wenn sie gemeinsamen Schnittpunkt hätten, so wären sie alle gleich. Wegen $a_i \in S_i${} wären $a_1, ... , a_n${} kollinear. }

\inputfaktbeweis {Benutzer:Abrankov/Schwerpunktsatz von endlich viele Punkten/Fakt} {Satz} {Schwerpunktsatz von endlich viele Punkten} {Ist $charK${} kein Teiler von $n(n-1)${,} so schneiden sich die Geraden $S_i \,\, \text{ für } i=1, ... ,n${,} im Schwerpunkt $s${.} } {Benutzer:Abrankov/Schwerpunktsatz von endlich viele Punkten/Fakt Beweis }

\inputfakt{Benutzer:Abrankov/Äquivalenzsatz von endlich vielen Punkten}{Satz}{Äquivalenzsatz} {Benutzer:Abrankov/Äquivalenzsatz von endlich vielen Punkten }

Wir führen am Ende die Dreieckskoordinaten. Für viele Anwendungen ist es zwegmäsig Koordinatensystem einzuführen das von einem Dreieck $a,b,c${} abhängig ist.

\zwischenueberschrift{Dreieckskoordinaten}

\inputfaktbeweis {Benutzer:Abrankov/Dreieckskoordinaten/Lemma/Fakt} {Lemma} {Deieckskoordinaten } {Sei $a,b,c \in K^2${} ein Dreieck. Dann existieren zu jedem $x \in K^2${} eindeutig bestimmte $\alpha, \beta, \gamma \in K${,} für die folgende Aussagen gelten.

\aufzaehlungdrei{$x=\alpha a + \beta b + \gamma c${} }{$\alpha + \beta + \gamma =1${} }{$\alpha=\frac{[x,b,c]}{[a,b,c]}, \,\, \beta=\frac{[a,x,c]}{[a,b,c]}, \,\, \gamma=\frac{[a,b,x]}{[a,b,c]}${} } } {

   * Existenz:

Eine solche Darstellung von $x \text{ mit } (1) \text{ und } (2)${} existiert nach Lemma ().

   * Eindeutigkeit:

Seien $\alpha\,', \beta\,', \gamma\,' \in K \,\ \text{ mit } \,\ x=\alpha\,'a + \beta\,'b + \gamma\,'c \text{ und } \alpha\,' + \beta\,' + \gamma\,' =1${.} Substrachiere hiervon $(2)${} und es ergibt sich:

\einrueckung{$0=(\alpha\,'-\alpha)a +(\beta\,' + \beta)b + (\gamma\,' + \gamma)c${}}

Da $a, b, c${} nicht kollinear sind, folgt $\alpha\,'-\alpha =0 \Leftrightarrow \alpha\,'=\alpha${.} Analog ergibt sich $\beta\,'=\beta \text{ und } \gamma\,'= \gamma${.} }

Literatur

   * Max Koecher, Aloys Krieg, Ebene Geometrie , 3. Aufl., Springer, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49327-3