Benutzer:Abrankov/Projektive Quadriken/Bemerkung 0

Wir wollen jetzt zeigen, dass man durch Entfernen einer geeigneten projektiven Gerade in ${}\mathbb {P} _{2}$ als affinen Anteil von ${}Q$

1. einen Kreis
2. eine Hyperbel
3. eine Parabel

erhält.

Sei ${}Q$ die durch die Gleichung ${}x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$ gegebene projektive Quadrik in ${}\mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} )$. Die Gleichung ${}x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$ beschreibt einen Kreiskegel in ${}\mathbb {R} ^{3}$. Die affinen Anteile von ${}Q$ lassen sich als die Summe von ${}Q$ mit den entsprechenden projektiven Geraden veranschaulichen.

1. Sei ${}H=\lbrace (x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} ):x_{0}=0\rbrace$.Dann ist ${}Q\cap H=\emptyset$ und wir betrachten die kanonische Einbettung

   ${}i:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} )\setminus H,(x_{1},x_{2})\longmapsto (1:x_{1}:x_{2})$.

   Dann ist

   ${}i^{-1}(Q)=\lbrace (x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\rbrace$.

   Dies ist ein Kreis. Geometrisch kann man sich diesen als Schnitt des Kreiskegels mit der Hyperfläche ${}x_{0}=1$ vorstellen.
2. Im Fall ${}H=\lbrace (x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} ):x_{1}=0\rbrace$ besteht ${}Q\cap H$ aus zwei Punkte. Wir betrachten die Affinität

   ${}i:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} )\setminus H,(x_{0},x_{2})\longmapsto (x_{0}:1:x_{2})$.

   Dann ist

   ${}i^{-1}(Q)=\lbrace (x_{0},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{0}^{2}-x_{2}^{2}=1\rbrace$.

   Dies ist eine Hyperbel in ${}\mathbb {R} ^{2}$, die man sich als Schnitt von ${}K$ mit der Hyperebene ${}x_{1}=1{\text{ also }}\mathbb {R} ^{3}$ veranschaulichen kann.
3. Sei ${}H=\lbrace (x_{0}:x_{1}:x_{2})\in \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} ):x_{0}+x_{2}=0\rbrace$. In diesem Fall hat ist ${}Q\cap H$ ein Punkt, wir haben wieder eine Affinität

   ${}i:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {P} _{2}(\mathbb {R} )\setminus H,(x_{1},x_{2})\longmapsto ((1:x_{2}):x_{1}-x_{2})$.

   Wir erhalten

   ${}i^{-1}(Q)=\lbrace (x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}^{2}+2x_{1}=1\rbrace$.

   Dies ist eine Parabel. Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ entsteht sie als Schnitt des Kegels ${}K$ mit der Ebene ${}x_{0}+x_{2}=1$.

An den Bildern kann man sehen, wie bei Zentralprojektionen aus einem Kreis eine Hyperbel oder Parabel entstehen kann. Man stellt sich die Spitze des Kreises als Projektionszentrum und die Mantellinie als Projektionsstrahlen vor.

Die projektive Ebene besteht aus allen Geraden im affinen Raum, die durch den Nullpunkt gehen. Ein Punkt in der projektiven Ebene entspricht also einer Geraden durch den Nullpunkt im affinen Raum. Wenn man den Kegel betrachtet, dann hat man eine Menge von Geraden. Und die Menge dieser Geraden ist in der projektiven Ebene eine Teilmenge, die aussieht wie ein Kreis. Im affinen Raum wird jede Gerade in der projektiven Ebene als ein Punkt gedacht. Die Punkte in ${}\mathbb {P} _{2}$ sind die Geraden in ${}\mathbb {A} ^{3}$.