Benutzer:Abrankov/Vorlesung/Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt Beweis/Gleichungslinks

Es sei $s_{i}\in S_{+}$ durch die Bedingung

$ik=\epsilon _{i}s_{i}\mod p$

festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen $jk$, $j\in S=(\mathbb {Z} /(p))^{\times }$. Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz $S$, da ja $k$ eine Einheit und daher die Multiplikation mit $k$ eine Bijektion ist. Es ist $(-i)k=-ik=-\epsilon _{i}s_{i}$ für $i\in S_{+}=\{1,\ldots ,t\}$. Daher ist $S_{+}=\{1,\ldots ,t\}=\{s_{1},\ldots ,s_{t}\}$. Deshalb gilt $t!=\prod _{i=1}^{t}s_{i}$ und somit

$t!k^{t}$ = $(\prod _{i=1}^{t}i)(\prod _{i=1}^{t}k)$ = $\prod _{i=1}^{t}ik$ = $\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}s_{i}$ = $(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i})(\prod _{i=1}^{t}s_{i})$ = $(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i})t!\mod p$.

Durch kürzen mit $t!$ (das ist eine Einheit) ergibt sich $k^{t}=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\mod p$, und das Eulersche Kriterium, nämlich $k^{t}=k^{\frac {p-1}{2}}=\left({\frac {k}{p}}\right)\mod p$, liefert das Ergebnis.