Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Abelsche Kategorie/Weitere Axiome/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(I,\succcurlyeq )$ eine geordnete Menge und es sei ${}M_{i}$ , ${}i\in I$ , ein Diagramm in der Kategorie der Mengen, d.h. zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben und zu jedem Paar ${}i\succcurlyeq j$ sei eine Abbildung ${}\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$ gegeben, wobei ${}\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$ zu ${}i\succcurlyeq j\succcurlyeq k$ gelte. Eine Menge ${}M$ zusammen mit Abbildungen ${}p_{i}\colon M\rightarrow M_{i}$ heißt Limes (oder projektiver Limes) der ${}M_{i}$ , wenn ${}p_{j}=\varphi _{ij}\circ p_{i}$ gilt und wenn es zu jeder anderen Menge ${}(N,q_{i})$ mit dieser Eigenschaft eine eindeutige Abbildung ${}\psi \colon N\rightarrow M$ mit ${}p_{i}\circ \psi =q_{i}$ gibt. Er wird mit ${}\varprojlim _{i\in I}M_{i}$ bezeichnet.

Definition

Eine abelsche Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ erfüllt die Eigenschaft ${}(AB3)$ , wenn in ihr alle Kolimiten existieren.

Definition

Eine abelsche Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ erfüllt die Eigenschaft ${}(AB4)$ , wenn in ihr beliebige direkte Summen exakt sind.

Definition

Eine abelsche Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ erfüllt die Eigenschaft ${}(AB5)$ , wenn in ihr beliebige Kolimiten exakt sind.

Definition

Eine abelsche Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ erfüllt die Eigenschaft ${}(AB6)$ , wenn in ihr ${}(AB3)$ gilt und wenn für beliebige gefilterte Kategorien ${}I_{j}$ , ${}j\in J$ , zu einer beliebigen Indexmenge ${}J$ und Funktoren

I_{j}\longrightarrow {\mathcal {A}},\,i\longmapsto M_{i},

die natürlichen Abbildungen

\operatorname {colim} \,_{i_{j}\in I_{j}}\prod _{j\in J}M_{j}\longrightarrow \prod _{j\in J}\operatorname {colim} \,_{i_{j}\in I_{j}}M_{j}

Isomorphismen sind.