Benutzer:Bocardodarapti/Versuche/slide/Test10

Sei $(xy)^{k}=1$. Wir haben zu zeigen, dass $k$ ein Vielfaches von $nm$ ist. Es ist

$1=(x^{k}y^{k})^{n}=x^{kn}y^{kn}=y^{kn}\,,$

da ja $n$ die Ordnung von $x$ ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass $kn$ ein Vielfaches der Ordnung von $y$, also von $m$ sein muss. Da $n$ und $m$ teilerfremd sind, folgt aus dem Lemma von Euklid, dass $k$ ein Vielfaches von $m$ ist. Ebenso ergibt sich, dass $k$ ein Vielfaches von $n$ ist, so dass $k$, wieder aufrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von $nm$ sein muss.