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Cschraed/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen
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Benutzer:Cschraed
φ
∗
(
f
d
y
1
∧
…
∧
d
y
k
)
(
P
,
e
j
1
∧
…
∧
e
j
k
)
{\displaystyle {}\varphi ^{*}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(P,e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})}
=
{\displaystyle {}\,=\,}
Definition von
φ
∗
{\displaystyle \varphi *}
(
f
d
y
1
∧
…
∧
d
y
k
)
(
φ
(
P
)
,
T
P
(
φ
)
(
e
j
1
)
∧
…
∧
T
P
(
φ
)
(
e
j
k
)
)
{\displaystyle {}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge T_{P}(\varphi )(e_{j_{k}}))}
=
{\displaystyle {}\,=\,}
T
p
(
φ
)
(
e
j
1
)
=
D
φ
(
p
)
∗
e
j
i
{\displaystyle T_{p}(\varphi )(e_{j1})=D\varphi (p)*e_{ji}}
,mit
D
φ
(
p
)
{\displaystyle D\varphi (p)}
Funktionalmatrix und
D
φ
(
p
)
∗
e
j
1
{\displaystyle D\varphi (p)*e_{j1}}
j1-te Spalte der Funktionalmatrix
f
(
φ
(
P
)
)
(
d
y
1
∧
…
∧
d
y
k
)
(
(
∂
φ
1
∂
x
j
1
(
P
)
⋮
∂
φ
m
∂
x
j
1
(
P
)
)
∧
…
∧
(
∂
φ
1
∂
x
j
k
(
P
)
⋮
∂
φ
m
∂
x
j
k
(
P
)
)
)
{\displaystyle {}f(\varphi (P))(dy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})({\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\end{pmatrix}}\wedge \ldots \wedge {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\end{pmatrix}})}
=
{\displaystyle {}\,=\,}
d
φ
1
∧
.
.
.
∧
d
y
k
{\displaystyle d_{\varphi 1}\wedge ...\wedge d_{yk}}
ist multilinear und alternierend es gilt
(
d
y
1
∧
.
.
.
∧
d
y
k
)
(
e
1
,
.
.
.
,
e
n
)
=
d
y
1
(
e
1
)
∗
.
.
.
∗
d
y
n
(
e
n
)
=
1
∗
.
.
.
∗
1
=
1
→
{\displaystyle (d_{y1}\wedge ...\wedge d_{yk})(e_{1},...,e_{n})=d_{y1}(e1)*...*d_{yn}(e_{n})=1*...*1=1\rightarrow }
Eindeutigkeit der Determinante
f
(
φ
(
P
)
)
⋅
det
(
(
d
y
i
)
(
∂
φ
1
∂
x
j
ℓ
(
P
)
⋮
∂
φ
m
∂
x
j
ℓ
(
P
)
)
)
1
≤
i
,
ℓ
≤
k
{\displaystyle {}f(\varphi (P))\cdot \det \left((dy_{i}){\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\end{pmatrix}}\right)_{1\leq i,\ell \leq k}}
=
{\displaystyle {}\,=\,}
d
y
i
(
x
1
.
.
.
x
n
)
=
x
i
{\displaystyle d_{yi}\left({\begin{array}{c}x_{1}\\.\\.\\.\\x_{n}\end{array}}\right)=x_{i}}
f
(
φ
(
P
)
)
⋅
det
(
∂
φ
i
∂
x
j
ℓ
(
P
)
)
1
≤
i
,
ℓ
≤
k
{\displaystyle {}f(\varphi (P))\cdot \det \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\right)_{1\leq i,\ell \leq k}}
/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen
Definition von 
,mit 
Funktionalmatrix und 
j1-te Spalte der Funktionalmatrix 
ist multilinear und alternierend es gilt 
Eindeutigkeit der Determinante 
