Benutzer:Dheidt/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen

${}(a+b)^{n+1}$	${}\,=\,$ Potengesetzen: a^n * a^m = a^(n+m)	${}(a+b)(a+b)^{n}$
	${}\,=\,$ I.V.: (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k}	${}(a+b)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$
	${}\,=\,$ Distributiv: (a+b)*k = (a*k) + (b*k)	${}a(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})+b(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})$
	${}\,=\,$ a & b wurden in die Summen reingezogen: a*a^k = a^k+1 ; b*b^n-k = b^n-k+1	${}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ 1. Summe: k→k-1 und Summe läuft gegen n+1, statt gegen n. Für k=0 ist n über k-1 gleich Null, da n über -1 Null ist (siehe Def.). 2. Summe: Summe läuft gegen n+1 statt gegen n. Dies kann man ohne Einschränkung machen, da n über n+1 gleich Null ist (siehe Def.).	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ Beide Summen zusammenfassen (gleiche Grenzen der Summen). a^k * b^(n-k+1) lässt sich ausklammern (innerhalb der Summe).	${}\sum _{k=0}^{n+1}({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}})a^{k}b^{n+1-k}$
	${}\,=\,$ Def. Binomialkoeffizienten: binom{n}{k-1} + binom{n}{k} = binom{n+1}{k}	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}$