Benutzer:Josef Sniatecki/Aufgabe - Teilbarkeit durch 11

Eine Folge $x_{n}$ sei folgendermaßen definiert:

$x_{n}=2\cdot 5^{3n+1}+4^{n}$

Man zeige, dass für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Zahl $x_{n}$ durch $11$ teilbar ist.

Lösungsansatz

Bisher habe ich erfahren, dass solche Probleme oft mit einer vollständigen Induktion gelöst werden. Jedoch weiß ich nicht genau, wie man sie anzuwenden hat, da ich noch keine Erfahrungen mit der vollständigen Induktion gemacht habe. Nun habe ich mir folgendes gedacht:

${\begin{array}{c}11\mid x_{n}\\11\mid x_{n+1}\end{array}}\Longrightarrow 11\mid (x_{n+1}\pm x_{n})$

Dann kann ich einfach versuchen aus folgendem Ausdruck die Teilbarkeit für jedes $x_{n}$ zu beweisen:

$x_{n+1}-x_{n}$

Meine Hoffnung war, dass ich nun durch Umformungen einen einfacheren Ausdruck erhalten könnte, durch den wesentlich einfacher die Teilbarkeit durch 11 gezeigt werden kann. Doch leider misslingt mir der Versuch:

$x_{n+1}-x_{n}$

$=2\cdot 5^{3(n+1)+1}+4^{n+1}-2\cdot 5^{3n+1}-4^{n}$

$=2\cdot 5^{3n+4}+4^{n+1}-2\cdot 5^{3n+1}-4^{n}$

$=2\cdot (5^{3n+4}-5^{3n+1})+3\cdot 4^{n}$

$=2\cdot (5^{4}-5)\cdot 5^{3n}+3\cdot 4^{n}$

$=1240\cdot 5^{3n}+3\cdot 4^{n}$

$=248\cdot 5^{3n+1}+3\cdot 4^{n}$

Das sieht nun leider schwieriger aus als vorher.

andere Idee

Induktionsanfang: n=0

$2\cdot 5+1=11$

Induktionsvoraussetzung: Sei $x_{n}$ durch 11 teilbar.

$\Leftrightarrow \exists r\in \mathbb {Z} :11\cdot r=x_{n}=2\cdot 5^{3n+1}+4^{n}$

$\Leftrightarrow 2\cdot 5^{3n+1}=11\cdot r-4^{n}$

Induktionsschritt: $n\rightarrow n+1$

${\begin{aligned}x_{n+1}&=2\cdot 5^{3n+1}\cdot 5^{3}+4^{n}\cdot 4\\&{\overset {I.V.}{=}}11\cdot r\cdot 5^{3}-4^{n}\cdot 5^{3}+4^{n}\cdot 4\\&=11\cdot (r\cdot 5^{3}-11\cdot 4^{n})\end{aligned}}$

Zuerst habe ich meine Induktionsvoraussetzung eingesetzt und dann $4-5^{3}=-121=-11\cdot 11$ ausgenutzt. Müsste so stimmen :D

82.82.165.154 20:50, 13. Jan. 2011 (CET)

Vielen Dank, es hat zwar ein Wenig gedauert bis ich die Lösung nachvollziehen konnte, aber jetzt scheint für mich alles ersichtlich zu sein. Wahrscheinlich hätte ich diese Aufgabe nie selbst gelöst, weil ich nie auf die Ideen mit $2\cdot 5^{3n+1}=11\cdot r-4^{n}$ und $-121=-11\cdot 11$ gekommen wäre. Nochmal vielen Dank, jetzt verstehe ich das auch mit der vollständigen Induktion ;) 91.60.247.157 18:06, 16. Jan. 2011 (CET)