5.7 Verdichtungskriterium von Cauchy

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Sei   eine monoton fallende Nullfolge. Dann ist   genau dann (absolut) konvergent, wen   (absolut konvergent.

Beweis

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 2^{n-1} a_{2^n} \le 2^{n-1} \cdot a_{2^n -1} \le \sum_{2^{n-1}}^{2^n-}a_k \le (2^n-1-2^{n-1}+1) a_{2^{n-1}} \le 2^{n-1}a_{2^{n-1}} \le 2^{n-1 a_{2^{n-1}} \vert \sum_{n=1}^N}

 

hier fehlt etwas

Gezeigt Partialsummen von  

sind zugleich beschränkt oder undbeschränkt wzzw

gleichzeitige Divergenz bzw. Konvergenz

Beispiel:

  konvergent

 

 

  konverkent

Bemerkungen

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Leibniz/ Abel-Dirichlet

  monoton

monoton ist wesentlich

Bsp: a_n =

0 \ \ \ \ n \text{ungrade} \frac[1}{n} \ \ \ n grade

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n divergent

Wurzel-/Quotientenkriterium

 

für alle n \in \mathbb{N}. reicht nicht aus!

Beispiel

Majorantenkriterium
Beispiel
Binomische Reihe

 

  ist konvergent für  

{\alpha \choose n} = \frac{\alpha ( \alpha -1 ) (\alpha -2 ) ... ( \alpha -n +1 )}{n!}


hier fehlt etwas