Benutzer:Mogoh/sandbox9
(Konvergenzradius )
4.8 Abelscher Grenzwertsatz
BearbeitenSei \sum_{n=0}^\infty a_n konvergent, sei f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n Dann gilt \lim_{x \rightarrow 1-} f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n
Beweis
Bearbeitenabelsche partielle Summation
\sum_{k=0}^n a_k x^k = s_n x^n + \sum_{k=0}^{n-1} s_k (x^k -x^{k+1} ) für -1 < x <1
= s_n x^n + (1-x) \sum_{k=0}^{n-1} s_k x^k
s_n \rightarrow (n \rightarrow \infty)
\sum_{k=0}^\infty a_k x^k = (1-x) \sum_k=0}^\infty s_k x^k
OBdA s= 0 (sonst a_0 -s anstelle a_0)
f(xx) = (1-x) \sum_{k=0}^\infty s_k x^k
S_k \rightarrow 0 : zu \epsilon > o existiert n_0 :
\vert s_k \vert < \epsilon (k> n_0 )
\vert s_k \vert \le L (k \le n_0 )
\vert f(x) \vert (1-x \left( \sum_{k=0}^{n_0} \vert s_k \vert \vert x \vert^k + \sum_{k = n_0 +1}^\infty \right)
hier fehlt noch etwas
§5 Die elementaren Funktionen
Bearbeiten5.1 Die Exponentialfunktion
Bearbeiten\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} heißt Exponetialreihe Konvergenzradius r= \infty
Sie definiert die Exponentialfunktion \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
Sie ist stetig afu \mathbb R
5.1 Eigenschaften
Bearbeiten- (i) \exp(x+y) = \exp(x) \exp(y)
- (ii) \exp(x) exp(-x) = 1
- (iii) \exp(x) > 0 (x \in \mathbb R ) und \exp ist streng monoton wachsend
- (iv) \lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{\exp(x)}{x^m} = \infty (m \in \mathbb N )
\lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{\exp(x)}{x^m} = 0 (m \in \mathbb N )
Beweis
BearbeitenFehlt leider