Benutzer:Muelchri/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen

${}(a+b)^{n+1}$	${}\,=\,$ Potenzgesetze	${}(a+b)(a+b)^{n}$
	${}\,=\,$ Nach Induktionsvoraussetzung ((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k})	${}(a+b)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$
	${}\,=\,$ Distributivgesetze	${}a(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})+b(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})$
	${}\,=\,$ a und b werden in die Summen reingezogen: a*a^k = a^k+1 ; b*b^n-k = b^n-k+1	${}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ 1. Summe: Summe läuft bis n+1 statt bis n, deshalb wird k um 1 erniedrigt. Für k = 0 ist der Binominalkoeffizient gleich 0, da n über n-1 = 0 (s. Def). 2. Summe: Summe läuft bis n+1 statt bis n. Für k = n+1 ist der Binominalkoeffizient gleich 0, da n über n+1 = 0 (s. Def).	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ Anwendung des Distributivgesetzes und Ausklammern.	${}\sum _{k=0}^{n+1}({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}})a^{k}b^{n+1-k}$
	${}\,=\,$ Nach Definition (Siehe auch Aufgabe 5 von Blatt 12) lassen sich die Binomialkoeffizienten zusammenfassen.	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}$