Benutzer:Postmann/Übung02 - Lösungen

Niveau 1

1.a)

Die Drehbewegung des Glases ist eine Rotation. Wenn das Glas zum Stillstand gekommen ist und an einem anderen Ort als zuvor steht, handelt es sich bei der Verschiebung von alter zu neuer Position um eine Translation.

1.b)

Werden Piruetten oder Salti ausgeführt, sind dies Rotationen. Werden gradlinige Figuren dargeboten, handelt es sich um Translationen.

1.c)

Die Rollbewegung der Tonne ist die Rotation. Die Rollbahn der Tonne ist die Translation.

1.d)

Ein Kunstflieger, der eine o. mehrere Rollen fliegt. · Rolle=Rotation · Bewegung in Flugrichtung=Translation.

2.)

3.a)

3,6km/h = 1m/s ; 127m = 0,127km; 100m/s = 360km/h

3.b)

1027mm = 1,027dm ; 144km/h = 40m/s ; 9,81 m/s² = 127137,6Km/h²

4.a)

$v={\frac {s}{t}}$ --> $t={\frac {s}{v}}$

Bsp. Strecke: 10 km Geschwindigkeit: 50km/h

$t={\frac {10km}{50km/h}}=0,2h=12min$

4.b)

$U=pi\cdot 2rU=pi\cdot 300.000.000km=942477796km$

$1Jahr=365\cdot 24h=8760h$

$v={\frac {942477796km}{8760h}}=107589km/h=29886m/s$

5.a)

Die Geschwindigkeit zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt (kurzes Zeitinterval).

5.b)

Die Geschwindigkeit in einem (längeren) Zeitinterval.

5.c)

Eine Möglichkeit den Standort oder eine Bewegung eines "Etwas" in Relation zu einem Bezugspunkt zu setzen.

5.d)

Eine Geschwindigkeitsänderung eines Systems zu einem Bezugssystem.

Niveau 2

1.)

Der erste Ausdruck bezeichnet die Durchschnittsgeschwindigkeit im angegebenen Zeitintervall. Der letzte Ausdruck bezeichnet die Momentangeschwindigkeit in einem hinreichend kleinen Zeitintervall.

Wie läge der Fall, wenn der zweite Ausdruck an erster Stelle einer Reihe kleinster Zeitintervalle mit einer Femtosekunde als letztem Ausdruck ? Hängt es davon ab, in welchem Umfeld die Bezeichnungen Durchnitts- bzw. Momentangeschwindigkeit gebraucht werden ?

2.)

$v={\frac {s_{1}+s_{2}}{v_{1}+v_{2}}}$

für $s_{1}=s_{2}$ $60km/h=120km/2h$

$s(t)={\frac {120km+120km}{1h+2h}}$

$s(t)={\frac {240km}{3h}}=80km/h$

3.a)

$v_{L}=72km/h$ , $v_{A}=144km/h$, $s=300m$

${\frac {0,3km}{72km*3600s}}=15s$

3.b)

15s mit 72 km/h

${\frac {72000m}{3600s*15s}}=300m$

4.)

Man stelle sich die Kreuzung als Koordinatensystem vor. Man erhält einen Vektor für Fahrzeug A mit ${\vec {a}}={\binom {-2500}{0}}\;$ und ${\vec {b}}={\binom {0}{2500}}\;$ für Fahrzeug B. Beide Vektoren stellen die jeweiligen Startpunkte dar.

Wenn Bewegung ins Spiel kommt, werden beide Vektoren um den Wertzuwachs pro Zeiteinheit ergänzt also

${\vec {a}}={\binom {-2500+6t}{0}}\;$ bzw. ${\vec {b}}={\binom {0}{2500+6t}}\;$.

Die Formel für den Vektorbetrag (Abstand zweier Koordinaten) lautet:

$|a,b|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})+(a_{2}-b_{2})}}$

Werte einsetzen:

$s(t)={\sqrt {(-2500*6t-0)+(0-2500*6t))}}$

$s(t)={\sqrt {12500000-60000t+72t^{2}}}$

5.)

Beschleunigungsdauer ca. 17s

$v={\frac {v_{1}-v_{0}}{t_{1}-t_{0}}}$

$v={\frac {200km/h-30km/h}{17s-0s}}$

$v={\frac {47,2m/s}{17s}}=2,7ms^{2}$

6a.)

$t={\frac {s}{v}}$

${\frac {500}{7200}}*3600s=250s$

6b.)

$s={\sqrt {150^{2}+500^{2}}}=522,02m$

$v={\frac {522,02m}{250s}}=2,09m/s$

Niveau 3

1.)

Um eine zeitfreie Formel zu erhalten muß t eleminiert werden. Also muß nach t hin aufgelöst werden und das Ergebnis anschließend in den zweiten Ausdruck eingesetzt werden. Hier ist es zweckmäßiger den ersten Ausdruck aufzulösen und mit dem zweiten weiterzurechnen.

$v-v_{0}=a\cdot t$ ---> $t={\frac {v-v_{0}}{a}}\qquad$

$s={\frac {v_{0}*(v-v_{0})}{a}}+{\frac {a}{2}}*\left({\frac {v-v_{0}}{a}}\right)^{2}$

$s={\frac {v_{0}*(v-v_{0})}{a}}+{\frac {a}{2}}*{\frac {v^{2}-2*v*v_{0}+{v_{0}}^{2}}{a^{2}}}$

$s={\frac {v_{0}v-v_{0}^{2}}{a}}+{\frac {a*(v^{2}-2*v*v_{0}+{v_{0}}^{2})}{2a^{2}}}$

$s={\frac {2v_{0}v-2v_{0}^{2}}{2a}}+{\frac {v^{2}-2*v*v_{0}+{v_{0}}^{2}}{2a}}$

$s={\frac {2v_{0}v-2v_{0}^{2}+v^{2}-2*v*v_{0}+{v_{0}}^{2}}{2a}}$

$2as=-2{v_{0}}^{2}+{v_{0}}^{2}+v^{2}$

${v^{2}-{v_{0}}^{2}=2as}$

2a.)

Um Funktionswerte für die Geschwindigkeit zu erhalten, muß s(t) abgeleitet werden.

$s(t)={\sqrt {12500000-60000t+72t^{2}}}$

$v(t)={\frac {1}{2}}{({\sqrt {12500000-60000t+72t^{2}}})}^{-0.5}$

2b.)

Die Funktion v(t) aus 2a. ist an der Stelle $416,{\overline {6}}$ nicht definiert. Eine Nullstelle an dieser Stelle wäre besser. Bin daher etwas verunsichert.

3.)

Der Ausdruck: ${\bar {v}}={\frac {1}{t_{2}-t_{2}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\mathrm {d} t$

beschreibt das arithmetische Mittel aller Funktionswerte im Intervall $t_{2}-t_{2}$.Wobei der Teil $\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\mathrm {d} t$ die Summe aller Funktionswerte im Intervall $t_{2}-t_{2}$ darstellt und der Ausdruck ${\frac {1}{t_{2}-t_{2}}}$ die Anzahl aller Funtionswerte in diesem Intervall.