Sei
[
Ω
,
F
,
P
]
{\displaystyle [\Omega ,{\mathcal {F}},P]}
X
:
Ω
→
R
{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }
normalverteilt mit den Parametern
α
{\displaystyle \alpha }
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
X
{\displaystyle X}
(3.1)
f
X
(
u
)
:=
g
α
,
σ
2
(
u
)
=
1
2
π
σ
exp
{
−
(
u
−
α
)
2
2
σ
2
}
(
u
∈
R
)
.
{\displaystyle f_{X}(u):=g_{\alpha ,\sigma ^{2}}(u)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left\{-{\frac {(u-\alpha )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right\}\quad (u\in \mathbb {R} ).}
Symbolisch schreiben wir
X
∼
N
(
α
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\alpha ,\sigma ^{2})}
X
∼
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}
X
{\displaystyle X}
standardnormalverteilt. Die Normalverteilung nennt man auch Gauß-Verteilung. Wir setzen als aus der Analysis bekannt voraus
(3.2)
∫
−
∞
∞
e
−
u
2
/
2
d
u
=
2
π
.
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}/2}\,du={\sqrt {2\pi }}.}
Aus (3.2) folgt, dass
g
0
,
1
{\displaystyle g_{0,1}}
α
∈
R
,
σ
>
0
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ,\sigma >0}
y
=
(
u
−
α
)
/
σ
{\displaystyle y=(u-\alpha )/\sigma }
∫
−
∞
∞
g
α
,
σ
2
(
u
)
d
u
=
∫
−
∞
∞
g
0
,
1
(
y
)
d
y
=
1.
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }g_{\alpha ,\sigma ^{2}}(u)\,du=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g_{0,1}(y)dy=1.}
Sei
X
∼
N
(
α
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\alpha ,\sigma ^{2})}
E
X
=
α
{\displaystyle \mathbb {E} X=\alpha }
Var
(
X
)
=
σ
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}}
Sei
X
∼
N
(
0
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}
(3.3)
E
X
n
=
{
0
f
u
¨
r
n
∈
N
u
n
g
e
r
a
d
e
,
(
n
−
1
)
!
!
⋅
σ
n
f
u
¨
r
n
∈
N
g
e
r
a
d
e
,
{\displaystyle \mathbb {E} X^{n}={\begin{cases}0&f{\ddot {u}}r\ n\in \mathbb {N} \ ungerade,\\(n-1)!!\cdot \sigma ^{n}&f{\ddot {u}}r\ n\in \mathbb {N} \ gerade,\end{cases}}}
wobei für ungerade natürliche Zahlen
k
{\displaystyle k}
k
!
!
{\displaystyle k!!}
k
{\displaystyle k}
k
!
!
:=
1
⋅
3
⋅
5
⋅
.
.
.
⋅
k
{\displaystyle k!!:=1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot k}
Sei
[
Ω
,
F
,
P
]
{\displaystyle [\Omega ,{\mathcal {F}},P]}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
X
_
=
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
T
:
Ω
→
R
n
{\displaystyle {\underline {X}}=(X_{1},...,X_{n})^{T}:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}
n
{\displaystyle n}
mit Erwartungswertvektor
μ
_
=
(
μ
1
,
.
.
.
,
μ
n
)
∈
R
n
{\displaystyle {\underline {\mu }}=(\mu _{1},...,\mu _{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Σ
{\displaystyle \Sigma }
(
n
×
n
)
{\displaystyle (n\times n)}
X
_
{\displaystyle {\underline {X}}}
(3.4)
f
X
_
(
u
_
)
:=
1
(
2
π
)
n
|
det
Σ
|
exp
{
−
1
2
(
u
_
−
μ
_
)
T
Σ
−
1
(
u
_
−
μ
_
)
}
(
u
_
∈
R
n
)
.
{\displaystyle f_{\underline {X}}({\underline {u}}):={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}|\det \Sigma |}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}({\underline {u}}-{\underline {\mu }})^{T}\Sigma ^{-1}({\underline {u}}-{\underline {\mu }})\right\}\quad ({\underline {u}}\in \mathbb {R} ^{n}).}
Symbolisch schreiben wir
X
_
∼
N
(
μ
_
,
Σ
)
{\displaystyle {\underline {X}}\sim {\mathcal {N}}({\underline {\mu }},\Sigma )}
Es ist noch zu zeigen, dass Definition 3.2 korrekt ist, dass also
μ
_
{\displaystyle {\underline {\mu }}}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Volatilitätsmatrix .
Die Verteilung
N
(
0
_
,
E
n
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}({\underline {0}},E_{n})}
0
_
{\displaystyle {\underline {0}}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
E
n
{\displaystyle E_{n}}
(
n
×
n
)
{\displaystyle (n\times n)}
n
{\displaystyle n}
. Die Dichte eines
N
(
0
_
,
E
n
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}({\underline {0}},E_{n})}
X
_
{\displaystyle {\underline {X}}}
(3.5)
f
X
_
(
u
_
)
=
1
(
2
π
)
n
exp
{
−
1
2
∑
k
=
1
n
u
k
2
}
=
1
(
2
π
)
n
exp
{
−
1
2
u
_
T
⋅
u
_
}
.
{\displaystyle f_{\underline {X}}({\underline {u}})={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}u_{k}^{2}\right\}={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}{\underline {u}}^{T}\cdot {\underline {u}}\right\}.}
Man beachte, dass
X
_
=
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
T
∼
N
(
0
_
,
E
n
)
{\displaystyle {\underline {X}}=(X_{1},...,X_{n})^{T}\sim {\mathcal {N}}({\underline {0}},E_{n})}
X
1
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},...,X_{n}}
0
_
=
(
0
,
.
.
.
,
0
)
T
{\displaystyle {\underline {0}}=(0,...,0)^{T}}
E
n
{\displaystyle E_{n}}
Der in Definition 3.2 beschriebene allgemeine normalverteilte Zufallsvektor lässt sich aus einem standardnormalverteilten Zufallsvektor durch eine affine Abbildung gewinnen. Den folgenden Satz setzen wir als aus der Analysis bekannt voraus.
Sei
X
_
{\displaystyle {\underline {X}}}
f
X
_
{\displaystyle f_{\underline {X}}}
S
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle S:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
S
(
x
_
)
=
A
x
_
+
m
_
{\displaystyle S({\underline {x}})=A{\underline {x}}+{\underline {m}}}
m
_
=
(
m
1
,
.
.
.
,
m
n
)
T
∈
R
n
{\displaystyle {\underline {m}}=(m_{1},...,m_{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n}}
det
A
≠
0
{\displaystyle \det A\neq 0}
Y
_
=
A
X
_
+
m
_
{\displaystyle {\underline {Y}}=A{\underline {X}}+{\underline {m}}}
(3.6)
f
Y
_
(
y
_
)
=
1
|
det
A
|
f
X
_
(
S
−
1
(
y
_
)
)
=
1
|
det
A
|
f
X
_
(
A
−
1
(
y
_
−
m
_
)
)
(
y
_
∈
R
n
)
.
{\displaystyle f_{\underline {Y}}({\underline {y}})={\frac {1}{|\det A|}}f_{\underline {X}}(S^{-1}({\underline {y}}))={\frac {1}{|\det A|}}f_{\underline {X}}(A^{-1}({\underline {y}}-{\underline {m}}))\quad ({\underline {y}}\in \mathbb {R} ^{n}).}
Seien
X
1
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},...,X_{n}}
X
_
=
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
T
{\displaystyle {\underline {X}}=(X_{1},...,X_{n})^{T}}
A
{\displaystyle A}
(
n
×
n
)
{\displaystyle (n\times n)}
μ
_
=
(
μ
1
,
.
.
.
,
μ
n
)
T
{\displaystyle {\underline {\mu }}=(\mu _{1},...,\mu _{n})^{T}}
Y
_
:=
A
X
_
+
μ
_
{\displaystyle {\underline {Y}}:=A{\underline {X}}+{\underline {\mu }}}
Y
_
∼
N
(
μ
_
,
Σ
)
{\displaystyle {\underline {Y}}\sim {\mathcal {N}}({\underline {\mu }},\Sigma )}
Σ
=
A
⋅
A
T
{\displaystyle \Sigma =A\cdot A^{T}}
Jeder normalverteilte Vektor lässt sich durch eine affine Transformation aus einem standardnormalverteilten erzeugen. Dies folgt daraus, dass sich jede symmetrische positv definite
(
n
×
n
)
{\displaystyle (n\times n)}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Σ
=
A
⋅
A
T
{\displaystyle \Sigma =A\cdot A^{T}}
A
{\displaystyle A}
(
n
×
n
)
{\displaystyle (n\times n)}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
μ
_
∈
R
n
{\displaystyle {\underline {\mu }}\in \mathbb {R} ^{n}}
N
(
μ
_
,
Σ
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}({\underline {\mu }},\Sigma )}
Y
_
{\displaystyle {\underline {Y}}}
X
_
{\displaystyle {\underline {X}}}
Y
_
=
A
X
_
+
μ
_
{\displaystyle {\underline {Y}}=A{\underline {X}}+{\underline {\mu }}}
Nach Theorem 3.2 gilt für
u
_
∈
R
n
{\displaystyle {\underline {u}}\in \mathbb {R} ^{n}}
f
Y
_
(
u
_
)
=
1
|
det
A
|
f
X
_
(
A
−
1
(
u
_
−
μ
_
)
)
{\displaystyle f_{\underline {Y}}({\underline {u}})={\frac {1}{|\det A|}}f_{\underline {X}}(A^{-1}({\underline {u}}-{\underline {\mu }}))}
=
1
(
2
π
)
n
|
det
A
|
exp
{
−
1
2
(
A
−
1
(
u
_
−
μ
_
)
)
T
⋅
A
−
1
(
u
_
−
μ
_
)
}
{\displaystyle ={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}|\det A|}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(A^{-1}({\underline {u}}-{\underline {\mu }}))^{T}\cdot A^{-1}({\underline {u}}-{\underline {\mu }})\right\}}
=
1
(
2
π
)
n
|
det
A
|
exp
{
−
1
2
(
u
_
−
μ
_
)
T
(
A
−
1
)
T
⋅
A
−
1
(
u
_
−
μ
_
)
}
{\displaystyle ={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}|\det A|}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}({\underline {u}}-{\underline {\mu }})^{T}(A^{-1})^{T}\cdot A^{-1}({\underline {u}}-{\underline {\mu }})\right\}}
=
1
(
2
π
)
n
|
det
A
|
exp
{
−
1
2
(
u
_
−
μ
_
)
T
(
A
T
)
−
1
⋅
A
−
1
(
u
_
−
μ
_
)
}
{\displaystyle ={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}|\det A|}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}({\underline {u}}-{\underline {\mu }})^{T}(A^{T})^{-1}\cdot A^{-1}({\underline {u}}-{\underline {\mu }})\right\}}
=
1
(
2
π
)
n
|
det
(
A
⋅
A
T
)
|
exp
{
−
1
2
(
u
_
−
μ
_
)
T
(
A
⋅
A
T
)
−
1
(
u
_
−
μ
_
)
}
,
{\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}|\det(A\cdot A^{T})|}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}({\underline {u}}-{\underline {\mu }})^{T}(A\cdot A^{T})^{-1}({\underline {u}}-{\underline {\mu }})\right\},}
wobei wir die Beziehung
det
(
A
⋅
A
T
)
=
det
A
⋅
det
A
T
=
(
det
A
)
2
{\displaystyle \det(A\cdot A^{T})=\det A\cdot \det A^{T}=(\det A)^{2}}
q.e.d.
Sei
Y
_
=
(
Y
1
,
.
.
.
,
Y
n
)
T
∼
N
(
μ
_
,
Σ
)
{\displaystyle {\underline {Y}}=(Y_{1},...,Y_{n})^{T}\sim {\mathcal {N}}({\underline {\mu }},\Sigma )}
j
,
k
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle j,k\in \{1,...,n\}}
E
Y
k
=
μ
k
,
Cov
(
Y
j
,
Y
k
)
=
σ
j
k
.
{\displaystyle \mathbb {E} Y_{k}=\mu _{k},\quad \operatorname {Cov} (Y_{j},Y_{k})=\sigma _{jk}.}
Zu
Σ
{\displaystyle \Sigma }
A
=
(
a
j
k
)
j
,
k
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle A=(a_{jk})_{j,k\in \{1,...,n\}}}
Σ
=
A
⋅
A
T
{\displaystyle \Sigma =A\cdot A^{T}}
Y
_
=
A
X
_
+
μ
_
{\displaystyle {\underline {Y}}=A{\underline {X}}+{\underline {\mu }}}
X
_
∼
N
(
0
_
,
E
n
)
{\displaystyle {\underline {X}}\sim {\mathcal {N}}({\underline {0}},E_{n})}
j
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle j\in \{1,...,n\}}
E
Y
j
=
E
(
∑
k
=
1
n
a
j
k
X
k
+
μ
j
)
=
∑
k
=
1
n
a
j
k
E
(
X
k
)
+
μ
j
=
μ
j
.
{\displaystyle \mathbb {E} Y_{j}=\mathbb {E} \left(\sum _{k=1}^{n}a_{jk}X_{k}+\mu _{j}\right)=\sum _{k=1}^{n}a_{jk}\mathbb {E} (X_{k})+\mu _{j}=\mu _{j}.}
Mit
σ
j
l
{\displaystyle \sigma _{jl}}
Σ
=
A
⋅
A
T
{\displaystyle \Sigma =A\cdot A^{T}}
X
1
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},...,X_{n}}
k
,
r
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle k,r\in \{1,...,n\}}
Cov
(
X
k
,
X
r
)
=
δ
k
,
r
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{k},X_{r})=\delta _{k,r}}
Cov
(
Y
j
,
Y
l
)
=
Cov
(
∑
k
=
1
n
a
j
k
X
k
+
μ
j
,
∑
r
=
1
n
a
l
r
X
r
+
μ
l
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (Y_{j},Y_{l})=\operatorname {Cov} \left(\sum _{k=1}^{n}a_{jk}X_{k}+\mu _{j},\sum _{r=1}^{n}a_{lr}X_{r}+\mu _{l}\right)}
=
Cov
(
∑
k
=
1
n
a
j
k
X
k
,
∑
r
=
1
n
a
l
r
X
r
)
{\displaystyle =\operatorname {Cov} \left(\sum _{k=1}^{n}a_{jk}X_{k},\sum _{r=1}^{n}a_{lr}X_{r}\right)}
=
∑
k
,
r
=
1
n
a
j
k
a
l
r
Cov
(
X
k
,
X
r
)
=
∑
k
,
r
=
1
n
a
j
k
a
l
r
δ
k
,
r
=
∑
k
=
1
n
a
j
k
a
l
k
=
σ
j
l
,
{\displaystyle =\sum _{k,r=1}^{n}a_{jk}a_{lr}\operatorname {Cov} (X_{k},X_{r})=\sum _{k,r=1}^{n}a_{jk}a_{lr}\delta _{k,r}=\sum _{k=1}^{n}a_{jk}a_{lk}=\sigma _{jl},}
was zu beweisen war.
q.e.d.
Ein Charakteristikum für normalverteilte Zufallsvektoren ist, dass Unabhängigkeit und Unkorreliertheit äquivalent sind.
Sei
X
_
=
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
T
∼
N
(
μ
_
,
Σ
)
{\displaystyle {\underline {X}}=(X_{1},...,X_{n})^{T}\sim {\mathcal {N}}({\underline {\mu }},\Sigma )}
X
1
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},...,X_{n}}
Da
Σ
{\displaystyle \Sigma }
σ
j
k
=
0
{\displaystyle \sigma _{jk}=0}
j
≠
k
{\displaystyle j\neq k}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
σ
k
k
=
Var
(
X
k
)
=:
σ
k
2
{\displaystyle \sigma _{kk}=\operatorname {Var} (X_{k})=:\sigma _{k}^{2}}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Σ
−
1
{\displaystyle \Sigma ^{-1}}
1
/
σ
k
2
{\displaystyle 1/\sigma _{k}^{2}}
X
_
{\displaystyle {\underline {X}}}
f
X
_
{\displaystyle f_{\underline {X}}}
f
X
_
(
u
_
)
=
1
(
2
π
)
n
/
2
(
|
det
Σ
|
)
1
/
2
exp
{
−
1
2
∑
k
=
1
n
(
u
k
−
μ
k
)
2
σ
k
2
}
=
f
X
1
(
u
1
)
⋅
.
.
.
⋅
f
X
n
(
u
n
)
{\displaystyle f_{\underline {X}}({\underline {u}})={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}(|\det \Sigma |)^{1/2}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {(u_{k}-\mu _{k})^{2}}{\sigma _{k}^{2}}}\right\}=f_{X_{1}}(u_{1})\cdot ...\cdot f_{X_{n}}(u_{n})}
hat.
q.e.d.
Im folgenden identifizieren wir die lineare Abbildung mit der sie beschreibenden Matrix. Eine Abbildung (Matrix)
O
{\displaystyle O}
orthogonal , falls
O
−
1
=
O
T
{\displaystyle O^{-1}=O^{T}}
O
⋅
O
T
=
O
T
⋅
O
=
E
n
{\displaystyle O\cdot O^{T}=O^{T}\cdot O=E_{n}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Sei
X
_
{\displaystyle {\underline {X}}}
n
{\displaystyle n}
O
{\displaystyle O}
Y
_
=
O
X
_
{\displaystyle {\underline {Y}}=O{\underline {X}}}
Aus Theorem 3.3 folgt unmittelbar
Y
_
∼
N
(
0
_
,
E
n
)
{\displaystyle {\underline {Y}}\sim {\mathcal {N}}({\underline {0}},E_{n})}
Σ
−
1
=
(
O
⋅
O
T
)
−
1
=
(
E
n
)
−
1
=
E
n
{\displaystyle \Sigma ^{-1}=(O\cdot O^{T})^{-1}=(E_{n})^{-1}=E_{n}}
q.e.d.
Wir geben noch an, wie sich
n
{\displaystyle n}
Es sei
S
:
R
n
→
R
m
,
m
≤
n
{\displaystyle S:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},m\leq n}
S
(
x
_
)
=
A
x
_
+
ν
_
{\displaystyle S({\underline {x}})=A{\underline {x}}+{\underline {\nu }}}
x
_
∈
R
n
{\displaystyle {\underline {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}
A
{\displaystyle A}
(
m
×
n
)
{\displaystyle (m\times n)}
m
{\displaystyle m}
ν
_
∈
R
m
{\displaystyle {\underline {\nu }}\in \mathbb {R} ^{m}}
X
_
{\displaystyle {\underline {X}}}
n
{\displaystyle n}
X
_
∼
N
(
μ
_
,
Σ
)
{\displaystyle {\underline {X}}\sim {\mathcal {N}}({\underline {\mu }},\Sigma )}
Y
_
=
S
X
_
{\displaystyle {\underline {Y}}=S{\underline {X}}}
m
{\displaystyle m}
(3.7)
Y
_
∼
N
(
A
μ
_
+
ν
_
,
A
Σ
A
T
)
.
{\displaystyle {\underline {Y}}\sim {\mathcal {N}}(A{\underline {\mu }}+{\underline {\nu }},A\Sigma A^{T}).}
Wir verzichten hier auf den Beweis.
Als Spezialfall erhalten wir das folgende Ergebnis:
Sei
X
_
=
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
T
∼
N
(
μ
_
,
Σ
)
{\displaystyle {\underline {X}}=(X_{1},...,X_{n})^{T}\sim {\mathcal {N}}({\underline {\mu }},\Sigma )}
X
1
+
.
.
.
+
X
n
∼
N
(
μ
1
+
.
.
.
+
μ
n
,
∑
j
,
k
=
1
n
σ
j
k
)
{\displaystyle X_{1}+...+X_{n}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu _{1}+...+\mu _{n},\sum _{j,k=1}^{n}\sigma _{jk}\right)}
X
1
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},...,X_{n}}
X
1
+
.
.
.
+
X
n
∼
N
(
μ
1
+
.
.
.
+
μ
n
,
σ
1
2
+
.
.
.
+
σ
n
2
)
{\displaystyle X_{1}+...+X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1}+...+\mu _{n},\sigma _{1}^{2}+...+\sigma _{n}^{2})}
Gegeben sei die
(
1
×
n
)
{\displaystyle (1\times n)}
A
=
(
1
,
.
.
.
,
1
)
{\displaystyle A=(1,...,1)}
A
X
_
=
X
1
+
.
.
.
+
X
n
{\displaystyle A{\underline {X}}=X_{1}+...+X_{n}}
X
1
+
.
.
.
+
X
n
∼
N
(
A
μ
_
,
A
Σ
A
T
)
{\displaystyle X_{1}+...+X_{n}\sim {\mathcal {N}}(A{\underline {\mu }},A\Sigma A^{T})}
A
μ
_
=
μ
1
+
.
.
.
+
μ
n
{\displaystyle A{\underline {\mu }}=\mu _{1}+...+\mu _{n}}
A
Σ
A
T
=
∑
j
,
k
=
1
n
σ
j
k
{\displaystyle A\Sigma A^{T}=\sum _{j,k=1}^{n}\sigma _{jk}}
q.e.d.
Für normalverteilte Zufallsgrößen kann man also mühelos die Verteilung der Summe ermitteln. Im allgemeinen kann man meist nur unter der zusätzlichen Annahme der Unabhängigkeit die Verteilung der Summe explizit ermitteln.
Eine Familie von Zufallsgrößen
(
X
t
)
t
∈
I
{\displaystyle (X_{t})_{t\in I}}
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
stochastischer Prozess.
I
=
[
0
,
1
)
,
I
=
R
,
I
=
N
{\displaystyle I=[0,1),I=\mathbb {R} ,I=\mathbb {N} }
I
=
[
0
,
T
]
{\displaystyle I=[0,T]}
I
{\displaystyle I}
(
X
t
)
t
∈
I
{\displaystyle (X_{t})_{t\in I}}
(
X
t
)
t
∈
I
{\displaystyle (X_{t})_{t\in I}}
X
:
I
×
Ω
→
R
{\displaystyle \mathbf {X} :I\times \Omega \to \mathbb {R} }
X
(
t
,
ω
)
:=
X
t
(
ω
)
{\displaystyle \mathbf {X} (t,\omega ):=X_{t}(\omega )}
beschrieben werden. Dann ist
X
(
t
,
⋅
)
:
Ω
→
R
{\displaystyle \mathbf {X} (t,\cdot ):\Omega \to \mathbb {R} }
∀
t
∈
I
{\displaystyle \forall t\in I}
∀
ω
∈
Ω
{\displaystyle \forall \omega \in \Omega }
X
(
⋅
,
ω
)
:
I
→
R
{\displaystyle \mathbf {X} (\cdot ,\omega ):I\to \mathbb {R} }
Trajektorie (oder Pfad) von
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
Sei
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
σ
{\displaystyle \sigma }
(
F
t
)
t
∈
I
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}}
F
s
⊆
F
t
⊆
F
∀
s
<
t
∈
I
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}\quad \forall s<t\in I}
heißt Filtration in
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
Ein Wahrscheinlichkeitsraum
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
vollständig, falls
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
(3.8)
O
:=
{
A
⊆
Ω
:
∃
B
∈
F
m
i
t
A
⊆
B
u
n
d
P
(
B
)
=
0
}
.
{\displaystyle {\mathcal {O}}:=\{A\subseteq \Omega :\exists B\in {\mathcal {F}}\ mit\ A\subseteq B\ und\ P(B)=0\}.}
Eine Filtration
(
F
t
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})}
F
t
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}
∀
t
∈
I
{\displaystyle \forall t\in I}
Sei
(
F
t
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
(
X
t
,
F
t
)
{\displaystyle (X_{t},{\mathcal {F}}_{t})}
, falls
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
(
F
t
−
B
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t}-{\mathcal {B}})}
∀
t
∈
I
{\displaystyle \forall t\in I}
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
(
F
t
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})}
. Die Filtration mit
F
t
:=
σ
(
{
X
s
:
s
≤
t
}
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}:=\sigma (\{X_{s}:s\leq t\})}
kanonische Filtration von
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
(
X
t
,
F
t
)
{\displaystyle (X_{t},{\mathcal {F}}_{t})}
(
Y
t
,
G
t
)
{\displaystyle (Y_{t},{\mathcal {G}}_{t})}
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
(
X
t
,
F
t
)
{\displaystyle (X_{t},{\mathcal {F}}_{t})}
von
(
Y
t
,
G
t
)
{\displaystyle (Y_{t},{\mathcal {G}}_{t})}
X
t
=
Y
t
{\displaystyle X_{t}=Y_{t}}
P
{\displaystyle P}
∀
t
∈
I
{\displaystyle \forall t\in I}
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
(
Y
t
)
{\displaystyle (Y_{t})}
, falls
P
(
X
t
=
Y
t
∀
t
∈
I
)
=
1
{\displaystyle P(X_{t}=Y_{t}\quad \forall t\in I)=1}
Falls
(
X
t
,
F
t
)
{\displaystyle (X_{t},{\mathcal {F}}_{t})}
(
Y
t
,
G
t
)
{\displaystyle (Y_{t},{\mathcal {G}}_{t})}
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
(
Y
t
)
{\displaystyle (Y_{t})}
Sei
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
(
Y
t
)
{\displaystyle (Y_{t})}
P
{\displaystyle P}
Sei
(
X
t
,
F
t
)
{\displaystyle (X_{t},{\mathcal {F}}_{t})}
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
(
X
t
1
,
.
.
.
,
X
t
n
)
,
n
∈
N
,
t
1
,
.
.
.
,
t
n
∈
I
{\displaystyle (X_{t_{1}},...,X_{t_{n}}),n\in \mathbb {N} ,t_{1},...,t_{n}\in I}
endlich-dimensionalen Verteilungen von
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
Der Funktionenraum
R
I
:=
{
f
:
R
→
I
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{I}:=\{f:\mathbb {R} \to I\}}
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
R
I
{\displaystyle \mathbb {R} ^{I}}
(3.9)
B
(
R
I
)
:=
σ
(
{
f
∈
R
I
|
{
f
(
t
1
)
,
.
.
.
,
f
(
t
n
)
}
∈
A
}
,
t
1
,
.
.
.
,
t
n
∈
I
,
n
∈
N
,
A
∈
B
n
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{I}):=\sigma \left(\{f\in \mathbb {R} ^{I}|\{f(t_{1}),...,f(t_{n})\}\in A\},t_{1},...,t_{n}\in I,n\in \mathbb {N} ,A\in {\mathcal {B}}^{n}\right)}
die
σ
{\displaystyle \sigma }
R
I
{\displaystyle \mathbb {R} ^{I}}
Gegeben sei ein stochastischer Prozess
(
X
t
,
F
t
)
{\displaystyle (X_{t},{\mathcal {F}}_{t})}
∀
n
∈
N
,
∀
t
1
,
.
.
.
,
t
n
∈
I
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\forall t_{1},...,t_{n}\in I}
P
t
1
,
.
.
.
,
t
n
{\displaystyle P_{t_{1},...,t_{n}}}
(
X
t
1
,
.
.
.
,
X
t
n
)
{\displaystyle (X_{t_{1}},...,X_{t_{n}})}
(
R
n
,
B
n
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})}
(3.10)
P
t
1
,
.
.
.
,
t
n
(
A
)
=
P
(
(
X
t
1
,
.
.
.
,
X
t
n
)
∈
A
)
∀
A
∈
B
n
.
{\displaystyle P_{t_{1},...,t_{n}}(A)=P((X_{t_{1}},...,X_{t_{n}})\in A)\quad \forall A\in {\mathcal {B}}^{n}.}
Falls ein Prozess gegeben ist, so existieren die endlich-dimensionalen Verteilungen.
Sei
(
P
τ
)
τ
∈
T
{\displaystyle (P_{\tau })_{\tau \in {\mathcal {T}}}}
T
:=
{
(
t
1
,
.
.
.
,
t
n
)
∈
I
n
,
t
j
≠
t
k
∀
j
≠
k
,
n
∈
N
}
.
{\displaystyle {\mathcal {T}}:=\{(t_{1},...,t_{n})\in I^{n},t_{j}\neq t_{k}\quad \forall j\neq k,n\in \mathbb {N} \}.}
(
P
τ
)
{\displaystyle (P_{\tau })}
, falls
∀
n
∈
N
,
∀
(
t
1
,
.
.
.
,
t
n
)
∈
T
,
∀
A
1
,
.
.
.
,
A
n
∈
B
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\forall (t_{1},...,t_{n})\in {\mathcal {T}},\forall A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {B}}}
π
1
,
.
.
.
,
π
n
{\displaystyle \pi _{1},...,\pi _{n}}
(3.11)
P
t
1
,
.
.
.
,
t
n
(
A
1
×
.
.
.
×
A
n
)
=
P
t
π
1
,
.
.
.
,
t
π
n
(
A
π
1
×
.
.
.
×
A
π
n
)
{\displaystyle P_{t_{1},...,t_{n}}(A_{1}\times ...\times A_{n})=P_{t_{\pi _{1}},...,t_{\pi _{n}}}(A_{\pi _{1}}\times ...\times A_{\pi _{n}})}
und
∀
n
∈
N
,
∀
t
1
,
.
.
.
,
t
n
+
1
∈
T
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\forall t_{1},...,t_{n+1}\in {\mathcal {T}}}
∀
A
∈
B
n
{\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}^{n}}
(3.12)
P
t
1
,
.
.
.
,
t
n
+
1
(
A
×
R
)
=
P
t
1
,
.
.
.
,
t
n
(
A
)
{\displaystyle P_{t_{1},...,t_{n+1}}(A\times \mathbb {R} )=P_{t_{1},...,t_{n}}(A)}
gilt.
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Sei
(
P
τ
)
τ
∈
T
{\displaystyle (P_{\tau })_{\tau \in {\mathcal {T}}}}
P
{\displaystyle P}
[
R
I
,
B
(
R
I
)
]
{\displaystyle [\mathbb {R} ^{I},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{I})]}
(
X
t
)
t
∈
I
{\displaystyle (X_{t})_{t\in I}}
[
R
I
,
B
(
R
I
)
,
P
]
{\displaystyle [\mathbb {R} ^{I},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{I}),P]}
∀
n
∈
N
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }
∀
t
1
,
.
.
.
,
t
n
∈
T
{\displaystyle \forall t_{1},...,t_{n}\in {\mathcal {T}}}
(3.13)
P
(
(
X
t
1
,
.
.
.
,
X
t
n
)
∈
A
)
=
P
t
1
,
.
.
.
,
t
n
(
A
)
∀
A
∈
B
n
.
{\displaystyle P((X_{t_{1}},...,X_{t_{n}})\in A)=P_{t_{1},...,t_{n}}(A)\quad \forall A\in {\mathcal {B}}^{n}.}
Hierbei ist
X
t
(
ω
)
:=
ω
(
t
)
{\displaystyle X_{t}(\omega ):=\omega (t)}
Ein stochastischer Prozess heißt Gauß-Prozess, falls alle endlich-dimensionalen Verteilungen (mehrdimensional) normalverteilt sind.
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
μ
X
:
I
→
R
{\displaystyle \mu _{X}:I\to \mathbb {R} }
μ
X
(
t
)
:=
E
X
t
{\displaystyle \mu _{X}(t):=\mathbb {E} X_{t}}
∀
t
∈
I
{\displaystyle \forall t\in I}
C
X
:
I
2
→
R
{\displaystyle C_{X}:I^{2}\to \mathbb {R} }
C
X
(
s
,
t
)
:=
Cov
(
X
s
,
X
t
)
{\displaystyle C_{X}(s,t):=\operatorname {Cov} (X_{s},X_{t})}
∀
s
,
t
∈
I
{\displaystyle \forall s,t\in I}
σ
X
2
:
I
→
R
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}:I\to R}
σ
X
2
(
t
)
:=
C
X
(
t
,
t
)
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t):=C_{X}(t,t)}
∀
t
∈
I
{\displaystyle \forall t\in I}
heißen Erwartungswert-, Kovarianz- und Varianzfunktion von
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
Seien
X
t
∼
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle X_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}
(
X
t
)
t
∈
[
0
,
1
)
{\displaystyle (X_{t})_{t\in [0,1)}}
(3.14)
μ
X
(
t
)
=
0
{\displaystyle \mu _{X}(t)=0}
C
X
(
s
,
t
)
=
{
0
s
≠
t
1
s
=
t
∀
s
,
t
∈
I
.
{\displaystyle C_{X}(s,t)={\begin{cases}0&s\neq t\\1&s=t\end{cases}}\quad \forall s,t\in I.}
Dieser Prozess hat allerdings höchst irreguläre Trajektorien.
Ein stochastischer Prozess
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
streng stationär oder stationär im engeren Sinne, falls die endlich-dimensionalen Verteilungen invariant sind gegenüber Indexverschiebung, d. h.
∀
n
∈
N
,
∀
(
t
1
,
.
.
.
,
t
n
)
∈
T
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\forall (t_{1},...,t_{n})\in {\mathcal {T}}}
∀
h
∈
R
{\displaystyle \forall h\in \mathbb {R} }
(
t
1
+
h
,
.
.
.
,
t
n
+
h
)
∈
T
{\displaystyle (t_{1}+h,...,t_{n}+h)\in {\mathcal {T}}}
(3.15)
(
X
t
1
,
.
.
.
,
X
t
n
)
∼
(
X
t
1
+
h
,
.
.
.
,
X
t
n
+
h
)
.
{\displaystyle (X_{t_{1}},...,X_{t_{n}})\sim (X_{t_{1}+h},...,X_{t_{n}+h}).}
Speziell gilt:
X
t
∼
X
s
∀
s
,
t
∈
I
{\displaystyle X_{t}\sim X_{s}\quad \forall s,t\in I}
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
, falls
E
X
t
2
<
∞
{\displaystyle \mathbb {E} X_{t}^{2}<\infty }
∀
t
∈
I
{\displaystyle \forall t\in I}
∀
s
,
t
,
h
{\displaystyle \forall s,t,h}
(
t
,
s
)
∈
T
{\displaystyle (t,s)\in {\mathcal {T}}}
(
t
+
h
,
s
+
h
)
∈
T
{\displaystyle (t+h,s+h)\in {\mathcal {T}}}
(3.16)
C
X
(
s
,
t
)
=
C
X
(
s
+
h
,
t
+
h
)
.
{\displaystyle C_{X}(s,t)=C_{X}(s+h,t+h).}
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
, falls
∀
s
,
t
,
h
{\displaystyle \forall s,t,h}
(
s
,
t
)
∈
T
{\displaystyle (s,t)\in {\mathcal {T}}}
(
s
+
h
,
t
+
h
)
∈
T
{\displaystyle (s+h,t+h)\in {\mathcal {T}}}
(3.17)
(
X
t
+
h
−
X
s
+
h
)
∼
(
X
t
−
X
s
)
.
{\displaystyle (X_{t+h}-X_{s+h})\sim (X_{t}-X_{s}).}
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
, falls
∀
(
t
0
,
.
.
.
,
t
n
)
∈
T
,
t
0
<
.
.
.
<
t
n
{\displaystyle \forall (t_{0},...,t_{n})\in {\mathcal {T}},t_{0}<...<t_{n}}
X
t
0
,
(
X
t
1
−
X
t
0
)
,
.
.
.
,
(
X
t
n
−
X
t
n
−
1
)
{\displaystyle X_{t_{0}},(X_{t_{1}}-X_{t_{0}}),...,(X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})}
unabhängig sind.
(
X
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
Z
j
:=
X
j
−
X
j
−
1
{\displaystyle Z_{j}:=X_{j}-X_{j-1}}
Z
0
:=
X
0
{\displaystyle Z_{0}:=X_{0}}
Dann sind die
(
Z
j
)
{\displaystyle (Z_{j})}
X
n
=
∑
j
=
0
n
Z
j
.
{\displaystyle X_{n}=\sum _{j=0}^{n}Z_{j}.}
Auch die Umkehrung gilt.
(
X
n
)
{\displaystyle (X_{n})}
X
n
{\displaystyle X_{n}}
Ein stochastischer Prozess
W
=
(
W
t
)
t
∈
[
0
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {W}}=(W_{t})_{t\in [0,1)}}
Wiener-Prozess oder Brownsche Bewegung, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
W
0
=
0
{\displaystyle W_{0}=0}
(
W
t
)
{\displaystyle (W_{t})}
für alle
t
>
0
{\displaystyle t>0}
W
t
∼
N
(
0
,
t
)
{\displaystyle W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,t)}
P
{\displaystyle P}
Zeige, dass für die Zuwächse
W
t
−
W
s
,
s
<
t
{\displaystyle W_{t}-W_{s},s<t}
W
t
−
W
s
∼
N
(
0
,
t
−
s
)
{\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}
σ
W
2
(
t
)
=
t
{\displaystyle \sigma _{\mathcal {W}}^{2}(t)=t}
t
{\displaystyle t}
μ
W
(
t
)
=
0
{\displaystyle \mu _{\mathcal {W}}(t)=0}
Für einen Wiener-Prozess gilt
c
W
(
t
,
s
)
=
min
(
t
,
s
)
{\displaystyle c_{\mathcal {W}}(t,s)=\min(t,s)}
Ein Wiener-Prozess ist ein Gauß-Prozess. Die kanonische Filtration eines Wiener-Prozesses
(
W
t
)
t
∈
[
0
,
1
)
{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,1)}}
(3.18)
F
t
W
:=
σ
(
{
W
s
:
0
≤
s
≤
t
}
)
(
t
≥
0
)
,
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{\mathcal {W}}:=\sigma (\{W_{s}:0\leq s\leq t\})\quad (t\geq 0),}
die Filtration
(3.19)
F
t
:=
σ
(
{
F
t
W
∪
O
}
)
(
t
≥
0
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}:=\sigma (\{{\mathcal {F}}_{t}^{\mathcal {W}}\cup {\mathcal {O}}\})\quad (t\geq 0)}
heißt Brownsche Filtration, wobei
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
Die Brownsche Filtration ist vollständig. Das hat u. a. folgenden Vorteil: Ist
(
W
t
)
,
(
F
t
)
{\displaystyle (W_{t}),({\mathcal {F}}_{t})}
(
W
~
t
)
{\displaystyle ({\tilde {W}}_{t})}
(
W
t
)
{\displaystyle (W_{t})}
W
~
t
{\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}
(
F
t
,
B
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t},{\mathcal {B}})}
(
W
~
t
)
{\displaystyle ({\tilde {W}}_{t})}
Ein stochastischer Prozess
(
X
t
)
t
∈
[
0
,
1
)
{\displaystyle (X_{t})_{t\in [0,1)}}
λ
{\displaystyle \lambda }
,
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
t
1
,
.
.
.
,
t
n
≥
0
{\displaystyle t_{1},...,t_{n}\geq 0}
τ
>
0
{\displaystyle \tau >0}
(3.20)
(
τ
λ
X
t
1
,
.
.
.
,
τ
λ
X
t
n
)
∼
(
X
τ
t
1
,
.
.
.
,
X
τ
t
n
)
.
{\displaystyle (\tau ^{\lambda }X_{t_{1}},...,\tau ^{\lambda }X_{t_{n}})\sim (X_{\tau t_{1}},...,X_{\tau t_{n}}).}
Selbstähnlich heißt, dass eine andere Skalierung (Ausschnitt, Vergrößerung) wieder eine ähnliche Form hat wie das Original. Aber das gilt natürlich nicht trajektorienweise, sondern in Verteilung .
Der Wiener-Prozess ist 1/2-selbstähnlich, also falls für alle
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
t
1
,
.
.
.
,
t
n
≥
0
{\displaystyle t_{1},...,t_{n}\geq 0}
τ
>
0
{\displaystyle \tau >0}
(3.21)
(
τ
X
t
1
,
.
.
.
,
τ
X
t
n
)
∼
(
X
τ
t
1
,
.
.
.
,
X
τ
t
n
)
.
{\displaystyle ({\sqrt {\tau }}X_{t_{1}},...,{\sqrt {\tau }}X_{t_{n}})\sim (X_{\tau t_{1}},...,X_{\tau t_{n}}).}
Selbstähnliche Prozesse (und damit auch der Wiener-Prozess) haben ziemlich verrückte Trajektorien. Man beachte, dass die Trajektorien stetig sind, aber sie sind nicht differenzierbar.
Bearbeiten
Sei
(
X
t
)
t
≥
0
{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \lambda \in (0,1)}
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
t
0
≥
0
{\displaystyle t_{0}\geq 0}
(3.22)
lim sup
t
↓
t
0
|
X
t
−
X
t
0
|
t
−
t
0
=
∞
,
{\displaystyle \limsup _{t\downarrow t_{0}}{\frac {|X_{t}-X_{t_{0}}|}{t-t_{0}}}=\infty ,}
d. h.
P
{\displaystyle P}
Karl Weierstrass entdeckte als erster stetige nirgends differenzierbare Funktionen.
Bearbeiten
Für
P
{\displaystyle P}
W
t
(
ω
)
{\displaystyle W_{t}(\omega )}
(
W
t
)
t
≥
0
{\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}
T
>
0
{\displaystyle T>0}
W
t
(
ω
)
{\displaystyle W_{t}(\omega )}
[
0
,
T
]
{\displaystyle [0,T]}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
τ
n
:
0
=
t
0
<
.
.
.
<
t
n
=
T
,
n
∈
N
{\displaystyle \tau _{n}:0=t_{0}<...<t_{n}=T,n\in \mathbb {N} }
P
{\displaystyle P}
ω
{\displaystyle \omega }
(3.23)
sup
n
∈
N
,
τ
n
∈
T
∑
k
=
1
n
|
W
t
k
(
ω
)
−
W
t
k
−
1
(
ω
)
|
=
∞
.
{\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} ,\tau _{n}\in {\mathcal {T}}}\sum _{k=1}^{n}|W_{t_{k}}(\omega )-W_{t_{k-1}}(\omega )|=\infty .}
Die unbeschränkte Variation ist (neben der Nichtdifferenzierbarkeit) der Hauptgrund dafür, dass die herkömmliche Integrationstheorie nicht anwendbar ist und neue Methoden - nämlich die stochastische Analysis - entwickelt werden mussten. Man beachte aber auch Satz 4.1.
Sei
(
W
t
)
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,1]}}
X
=
(
X
t
)
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle {\mathcal {X}}=(X_{t})_{t\in [0,1]}}
(3.24)
X
t
:=
W
t
−
t
⋅
W
1
(
t
∈
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle X_{t}:=W_{t}-t\cdot W_{1}\quad (t\in [0,1])}
heißt Brownsche Brücke. Zeige, dass
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
μ
X
(
t
)
=
0
{\displaystyle \mu _{\mathcal {X}}(t)=0}
c
X
(
t
,
s
)
=
min
(
t
,
s
)
−
t
⋅
s
(
t
,
s
∈
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle c_{\mathcal {X}}(t,s)=\min(t,s)-t\cdot s\quad (t,s\in [0,1])}
Bearbeiten
Sei
(
W
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,\infty )}}
μ
∈
R
{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
X
=
(
X
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle {\mathcal {X}}=(X_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(3.25)
X
t
:=
μ
t
+
σ
W
t
(
t
∈
[
0
,
∞
)
)
{\displaystyle X_{t}:=\mu t+\sigma W_{t}\quad (t\in [0,\infty ))}
heißt Brownsche Bewegung mit Drift. Zeige, dass
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
μ
X
(
t
)
=
μ
t
{\displaystyle \mu _{\mathcal {X}}(t)=\mu t}
c
X
(
t
,
s
)
=
σ
2
min
(
t
,
s
)
(
t
,
s
∈
[
0
,
∞
)
)
{\displaystyle c_{\mathcal {X}}(t,s)=\sigma ^{2}\min(t,s)\quad (t,s\in [0,\infty ))}
L. Bachelier beschrieb als erster die Preise von risikoreichen Anlagen durch eine Brownsche Bewegung. Die Brownsche Bewegung kann aber - wie jeder Gauß-Prozess - auch negative Werte annehmen, was für die Modellierung von Preisen nicht wünschenswert ist. In den mit dem Nobelpreis ausgezeichneten Arbeiten von Black, Scholes und Merton wird vorgeschlagen, nicht mit der Brownschen Bewegung selbst, sondern mit einer Funktion davon die Modellierung vorzunehmen.
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Sei
(
W
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,\infty )}}
μ
∈
R
{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
X
=
(
X
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle {\mathcal {X}}=(X_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(3.26)
X
t
:=
exp
{
μ
t
+
σ
W
t
}
(
t
∈
[
0
,
∞
)
)
{\displaystyle X_{t}:=\exp\{\mu t+\sigma W_{t}\}\quad (t\in [0,\infty ))}
heißt geometrische Brownsche Bewegung mit Drift. Zeige, dass
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
μ
X
(
t
)
=
exp
{
(
μ
+
σ
2
/
2
)
t
}
(
t
∈
[
0
,
∞
)
)
.
{\displaystyle \mu _{\mathcal {X}}(t)=\exp\{(\mu +\sigma ^{2}/2)t\}\quad (t\in [0,\infty )).}
In der Physik bezeichnet man eine gewisse "Ableitung" der Trajektorien des Wiener Prozesses als weißes Rauschen . Da die Trajektorien nirgends differenzierbar sind, ist dies nur im Sinne einer gewissen Konvergenz zu verstehen. Eine gewisse Approximation dieses weißen Rauschens ist das sog. farbige Rauschen.
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Sei
(
W
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,\infty )}}
h
>
0
{\displaystyle h>0}
X
=
(
X
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle {\mathcal {X}}=(X_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(3.27)
X
t
:=
W
t
+
h
−
W
t
h
(
t
∈
[
0
,
∞
)
)
{\displaystyle X_{t}:={\frac {W_{t+h}-W_{t}}{h}}\quad (t\in [0,\infty ))}
heißt Gaußsches farbiges Rauschen. Zeige, dass
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
μ
X
(
t
)
=
0
{\displaystyle \mu _{\mathcal {X}}(t)=0}
c
X
(
t
,
s
)
=
s
+
h
−
min
(
s
+
h
,
t
)
h
2
(
0
≤
s
≤
t
)
{\displaystyle c_{\mathcal {X}}(t,s)={\frac {s+h-\min(s+h,t)}{h^{2}}}\quad (0\leq s\leq t)}
Für
t
≥
s
+
h
{\displaystyle t\geq s+h}
c
X
(
t
,
s
)
=
0
{\displaystyle c_{\mathcal {X}}(t,s)=0}
h
{\displaystyle h}
W
t
{\displaystyle W_{t}}
h
↓
0
{\displaystyle h\downarrow 0}
farbige Rauschen eine Approximation des weißen Rauschens. Beachte auch, dass
Var
(
X
t
)
=
c
X
(
t
,
t
)
=
1
/
h
{\displaystyle \operatorname {Var} (X_{t})=c_{\mathcal {X}}(t,t)=1/h}
h
{\displaystyle h}
a) Sei
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
t
0
{\displaystyle t_{0}}
lim
h
↘
0
(
f
(
t
0
+
h
)
−
f
(
t
0
)
)
2
h
.
{\displaystyle \lim _{h\searrow 0}{\frac {(f(t_{0}+h)-f(t_{0}))^{2}}{h}}.}
b) Sei
(
W
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,\infty )}}
t
0
≥
0
{\displaystyle t_{0}\geq 0}
lim
h
↘
0
E
(
W
t
0
+
h
−
W
t
0
)
2
h
.
{\displaystyle \lim _{h\searrow 0}{\frac {\mathbb {E} (W_{t_{0}+h}-W_{t_{0}})^{2}}{h}}.}
c) Wie erklären Sie sich die unterschiedlichen Ergebnisse?
In Definition 3.8 wurde der Begriff eines adaptierten stochastischen Prozesses eingeführt. Ein stochastischer Prozess
Y
=
(
Y
t
)
t
∈
I
{\displaystyle {\mathcal {Y}}=(Y_{t})_{t\in I}}
(
F
t
)
t
∈
I
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}}
t
∈
I
{\displaystyle t\in I}
σ
(
Y
t
)
⊆
F
t
{\displaystyle \sigma (Y_{t})\subseteq {\mathcal {F}}_{t}}
Y
t
{\displaystyle Y_{t}}
F
t
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}
I
=
N
∗
{\displaystyle I=\mathbb {N} ^{*}}
Y
{\displaystyle {\mathcal {Y}}}
σ
(
Y
n
)
⊆
F
n
{\displaystyle \sigma (Y_{n})\subseteq {\mathcal {F}}_{n}}
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
Ein stochastischer Prozess
X
=
(
X
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle {\mathcal {X}}=(X_{t})_{t\in [0,\infty )}}
Martingal in stetiger Zeit bezüglich der Filtration
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,\infty )}}
, falls folgendes gilt:
E
|
X
t
|
<
∞
{\displaystyle \mathbb {E} |X_{t}|<\infty }
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle t\in [0,\infty )}
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(3.28)
E
(
X
t
|
F
s
)
=
X
s
{\displaystyle \mathbb {E} (X_{t}|{\mathcal {F}}_{s})=X_{s}}
0
≤
s
≤
t
{\displaystyle 0\leq s\leq t}
Ein stochastischer Prozess
X
=
(
X
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle {\mathcal {X}}=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
Martingal in diskreter Zeit bezüglich der Filtration
(
F
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
, falls folgendes gilt:
E
|
X
n
|
<
∞
{\displaystyle \mathbb {E} |X_{n}|<\infty }
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
(
F
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in N^{*}}}
(3.29)
E
(
X
n
+
1
|
F
n
)
=
X
n
{\displaystyle \mathbb {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})=X_{n}}
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
Sei
X
=
(
X
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle {\mathcal {X}}=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
(
F
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
n
,
k
∈
N
∗
{\displaystyle n,k\in \mathbb {N} ^{*}}
(3.30)
E
(
X
n
+
k
|
F
n
)
=
X
n
.
{\displaystyle \mathbb {E} (X_{n+k}|{\mathcal {F}}_{n})=X_{n}.}
Sei
X
=
(
X
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle {\mathcal {X}}=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
(
F
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
Y
=
(
Y
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {\mathcal {Y}}=(Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
Y
n
+
1
:=
X
n
+
1
−
X
n
,
n
∈
N
∗
{\displaystyle Y_{n+1}:=X_{n+1}-X_{n},n\in \mathbb {N} ^{*}}
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
E
(
Y
n
+
1
|
F
n
)
=
0
{\displaystyle \mathbb {E} (Y_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})=0}
Beweise, dass die Erwartungswertfunktion eines Martingals konstant ist, also dass für alle
s
,
t
∈
I
{\displaystyle s,t\in I}
E
X
t
=
E
X
s
{\displaystyle \mathbb {E} X_{t}=\mathbb {E} X_{s}}
Sei
(
W
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(
W
t
2
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t}^{2})_{t\in [0,\infty )}}
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,\infty )}}
Sei
(
W
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(3.31) a)
W
t
{\displaystyle W_{t}}
(3.32) b)
W
t
2
−
t
{\displaystyle W_{t}^{2}-t}
(3.33) c)
W
t
3
−
3
t
W
t
{\displaystyle W_{t}^{3}-3tW_{t}}
Sei
(
W
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(
X
t
)
{\displaystyle (X_{t})}
(
W
t
4
+
X
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t}^{4}+X_{t})_{t\in [0,\infty )}}
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,\infty )}}
Sei
(
Z
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle (Z_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
[
Ω
,
F
,
P
]
{\displaystyle [\Omega ,{\mathcal {F}},P]}
E
Z
n
=
0
{\displaystyle \mathbb {E} Z_{n}=0}
n
{\displaystyle n}
Z
0
=
0
{\displaystyle Z_{0}=0}
R
n
=
Z
0
+
.
.
.
+
Z
n
(
n
∈
N
∗
)
.
{\displaystyle R_{n}=Z_{0}+...+Z_{n}\quad (n\in \mathbb {N} ^{*}).}
Weiter sei
(
F
n
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})}
(
R
n
)
{\displaystyle (R_{n})}
F
n
=
σ
(
R
0
,
.
.
.
,
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\sigma (R_{0},...,R_{n})}
a) Zeige, dass gilt
F
n
=
σ
(
Z
0
,
.
.
.
,
Z
n
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\sigma (Z_{0},...,Z_{n})}
b) Beweise, dass
(
R
n
)
{\displaystyle (R_{n})}
Sei
Z
{\displaystyle Z}
[
Ω
,
F
,
P
]
{\displaystyle [\Omega ,{\mathcal {F}},P]}
E
|
Z
|
<
∞
{\displaystyle \mathbb {E} |Z|<\infty }
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,\infty )}}
[
Ω
,
F
]
{\displaystyle [\Omega ,{\mathcal {F}}]}
X
t
:=
E
(
Z
|
F
t
)
(
t
∈
[
0
,
∞
)
)
{\displaystyle X_{t}:=\mathbb {E} (Z|{\mathcal {F}}_{t})\quad (t\in [0,\infty ))}
bezüglich der Filtration
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,\infty )}}
Sei
Y
=
(
Y
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {\mathcal {Y}}=(Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
(
F
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
C
=
(
C
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {\mathcal {C}}=(C_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
(3.34)
σ
(
C
n
)
⊆
F
n
−
1
(
n
∈
N
)
.
{\displaystyle \sigma (C_{n})\subseteq {\mathcal {F}}_{n-1}\quad (n\in \mathbb {N} ).}
Ein solcher Prozess heißt vorhersagbar bezüglich der Filtration
(
F
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
. Wir definieren einen neuen stochastischen Prozess
(
X
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
(3.35)
X
0
=
0
,
X
n
=
∑
k
=
1
n
C
k
Y
k
(
n
∈
N
)
.
{\displaystyle X_{0}=0,\quad X_{n}=\sum _{k=1}^{n}C_{k}Y_{k}\quad (n\in \mathbb {N} ).}
Symbolisch schreiben wir
X
=
C
∙
Y
{\displaystyle {\mathcal {X}}={\mathcal {C}}\bullet {\mathcal {Y}}}
X
{\displaystyle X}
Martingaltransformierte von
Y
{\displaystyle {\mathcal {Y}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
. Beweise, dass
X
{\displaystyle X}
(
X
n
−
X
n
−
1
)
n
∈
N
{\displaystyle (X_{n}-X_{n-1})_{n\in \mathbb {N} }}
(
F
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
Sei
(
W
t
)
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,T]}}
(
F
t
)
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}
τ
=
(
t
0
,
t
1
,
.
.
.
,
t
n
)
{\displaystyle \tau =(t_{0},t_{1},...,t_{n})}
[
0
,
T
]
{\displaystyle [0,T]}
0
=
t
0
<
t
1
<
.
.
.
<
t
n
=
T
.
{\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<...<t_{n}=T.}
a) Beweise, dass die Folge
Δ
W
=
(
Δ
k
W
)
k
=
1
n
{\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}=(\Delta _{k}{\mathcal {W}})_{k=1}^{n}}
Δ
k
W
:=
W
t
k
−
W
t
k
−
1
(
k
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
)
{\displaystyle \Delta _{k}{\mathcal {W}}:=W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}}\quad (k\in \{1,...,n\})}
eine Folge von Martingaldifferenzen bezüglich der Filtration
(
F
k
)
k
=
0
n
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{k})_{k=0}^{n}}
F
0
=
{
∅
,
Ω
}
,
F
k
=
σ
(
W
t
j
:
1
≤
j
≤
k
)
(
k
∈
N
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}=\{\emptyset ,\Omega \},\quad {\mathcal {F}}_{k}=\sigma (W_{t_{j}}:1\leq j\leq k)\quad (k\in \mathbb {N} )}
darstellt.
b) Zeige, dass
C
=
(
W
t
k
−
1
)
k
=
1
n
{\displaystyle {\mathcal {C}}=(W_{t_{k-1}})_{k=1}^{n}}
(
F
k
)
k
=
0
n
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{k})_{k=0}^{n}}
C
∙
Δ
W
{\displaystyle {\mathcal {C}}\bullet \Delta {\mathcal {W}}}
(
F
k
)
k
=
0
n
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{k})_{k=0}^{n}}
(
C
∙
Δ
W
)
k
=
∑
j
=
1
k
W
t
j
−
1
(
W
t
j
−
W
t
j
−
1
)
(
k
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
)
.
{\displaystyle ({\mathcal {C}}\bullet \Delta {\mathcal {W}})_{k}=\sum _{j=1}^{k}W_{t_{j-1}}(W_{t_{j}}-W_{t_{j-1}})\quad (k\in \{1,...,n\}).}
![{\displaystyle [\Omega ,{\mathcal {F}},P]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024955a314ab2da4eaeecd273f8540365e32b66c)
![{\displaystyle I=[0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5414c8a56d7e978591c60549c168a7fa91273c0)
![{\displaystyle [\mathbb {R} ^{I},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{I})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49309c1edbe42a7044a97bd9ed6e118794c106c8)
![{\displaystyle [\mathbb {R} ^{I},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{I}),P]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951ff445c9c4be5a1099b592c2f7fdb2a0672a26)
![{\displaystyle [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ccef2d3dc751e081375d51c111709d8a1d7ac6)
![{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a2167285f716d891e7fa48fb7f240a09ed84c3)
![{\displaystyle {\mathcal {X}}=(X_{t})_{t\in [0,1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9cd381b4c85756e6f274468c1a9c1a3ae043c4)
![{\displaystyle X_{t}:=W_{t}-t\cdot W_{1}\quad (t\in [0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2775df985815fcb9fe0fc7045235951d8a20b26)
![{\displaystyle c_{\mathcal {X}}(t,s)=\min(t,s)-t\cdot s\quad (t,s\in [0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/381f068512f2d8cd5ae4cdb969035129db38bc23)
![{\displaystyle [\Omega ,{\mathcal {F}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4fbd9955f05d1adeabc223c5e46d67462b88f1)
![{\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278b64668d083959fadbc580ea86fd0e6a262d31)
![{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82e12fc426e0596ce14ce461967be662ade6308)
