Benutzer:Stepri2005/Kurs:Stochastische Prozesse/Stochastisches Integral

4.1 Riemann-Stieltjes-Integral

Sei $[a,b]\subset \mathbb {R}$ Intervall, $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ Funktionen, $n\in \mathbb {N} ,\tau _{n}=(t_{k}^{(n)})_{k=0}^{n}$ eine Zerlegung von $[a,b]$, also $a=t_{0}^{(n)}<t_{1}^{(n)}<...<t_{n}^{(n)}=b,\sigma _{n}=(y_{k}^{(n)})_{k=1}^{n}$ eine Folge von Zwischenpunkten für $\tau _{n}$, d. h. $y_{k}^{(n)}\in [t_{k-1}^{(n)},t_{k}^{(n)}]$ und $\Delta _{k}g$ sei der Zuwachs der Funktion $g$ in $[t_{k-1}^{(n)},t_{k}^{(n)}]$, also $\Delta _{k}g=g(t_{k}^{(n)})-g(t_{k-1}^{(n)})$.

Eine Folge $(\tau _{n})_{n=1}^{\infty }$ von Zerlegungen von $[a,b],\tau _{n}=(t_{k}^{(n)})_{k=0}^{n}$ heißt Zerlegungsnullfolge, falls gilt

$\lim _{n\to \infty }\max _{k\in \{1,...,n\}}|t_{k}^{(n)}-t_{k-1}^{(n)}|=0.$

Die Riemann-Stieltjes-Summe zu $n,\tau _{n},\sigma _{n}$ ist definiert als

(4.1) $S_{n}=S_{n}(\tau _{n},\sigma _{n}):=\sum _{k=1}^{n}f(y_{k}^{(n)})\Delta _{k}g=\sum _{k=1}^{n}f(y_{k}^{(n)})(g(t_{k}^{(n)})-g(t_{k-1}^{(n)})).$

Definition 4.1

Falls $S=\lim _{n\to \infty }S_{n}$ existiert für eine Zerlegungsnullfolge $(\tau _{n})_{n=1}^{\infty }$ und eine Folge $(\sigma _{n})_{n=1}^{\infty }$ von Zwischenpunkten und dieser Grenzwert unabhängig ist von der Wahl der Zerlegungsnullfolge und der Folge der Zwischenpunkte, so heißt dieser Grenzwert Riemann-Stieltjes-Integral von $f$ bezüglich $g$ über $[a,b]$. Symbolisch schreibt man

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x).$

Anmerkung:

Ist $g(x)=x$, erhält man das gewöhnliche Riemannintegral $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$. Ist $g$ auf $[a,b]$ differenzierbar, so gilt

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx,$

wobei auf der rechten Seite wiederum das gewöhnliche Riemannintegral steht.

Zunächst behandeln wir (ohne Beweise) die Frage, wann das Riemann-Stieltjes-Integral $\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$ existiert.

Wir haben bereits festgestellt, dass die Trajektorien des Wiener-Prozesses Funktionen unbeschränkter Variation sind (s. Satz 3.13). Wir wollen diese Diskussion jetzt verfeinern.

Definition 4.2

Sei $p>0$. Eine Funktion $h:[a,b]\to \mathbb {R}$ heißt von beschränkter $p$-Variation, falls gilt

(4.2) $\sup _{n,\tau _{n}}\sum _{k=1}^{n}|h(t_{k})-h(t_{k-1})|^{p}<\infty ,$

wobei das Supremum über alle möglichen Zerlegungen $\tau _{n}=(t_{k})_{k=0}^{n},n\in \mathbb {N}$ des Intervalls $[a,b]$ zu bilden ist. Gilt (4.2) nicht, so nennen wir $h$ eine Funktion mit unbeschränkter $p$-Variation.

Der folgende Satz von Taylor (1972) hilft uns, in einigen Fällen das Riemann-Stieltjes-Integral bezüglich des Wiener-Prozesses zu bilden.

Theorem 4.1 (Beschränkte $p$-Variation des Wiener-Prozesses)

Sei $(W_{t})_{t\in [0,\infty )}$ ein Wiener-Prozess und $[a,b]\subseteq [0,\infty )$ ein beliebiges Intervall. Für alle $p>2$ und $P$-f. a. $\omega$ ist $W_{t}(\omega )$ auf $[a,b]$ von beschränkter $p$-Variation. Für alle $p\leq 2$ ist für $P$-f. a. $\omega$ die Trajektorie $W_{t}(\omega )$ auf $[a,b]$ von unbeschränkter $p$-Variation.

Anmerkung:

Satz 3.13 ist damit eine Folgerung aus obigem Satz, da unbeschränkte Variation dasselbe ist wie unbeschränkte 1-Variation.

Theorem 4.2 (Existenz des Riemann-Stieltjes-Integrals)

Seien $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ Funktionen, die in keinem Punkt $t\in [a,b]$ gleichzeitig unstetig sind. Weiter sei $f$ auf $[a,b]$ von beschränkter $p$-Variation, $g$ sei auf $[a,b]$ von beschränkter $q$-Variation. Falls gilt

(4.3) ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>1,$

so existiert das Riemann-Stieltjes-Integral $\int _{a}^{b}f(s)\,dg(s)$.

Da die Trajektorien des Wiener-Prozesses stetig sind, können wir aus den Sätzen 4.1 und 4.2 unmittelbar schlussfolgern, dass folgendes gilt:

Theorem 4.3

Sei $(W_{t})_{t\in [0,\infty )}$ ein Wiener-Prozess und $[a,b]\subseteq [0,\infty )$ ein beliebiges Intervall. Für alle Funktionen $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ von beschränkter $p$-Variation mit $p<2$ existiert für $P$-f. a. $\omega$ das Integral $\int _{a}^{b}f(s)\,dW_{s}(\omega )$.

Anmerkung:

Beachte, dass $V:=\int _{a}^{b}f(s)\,dW_{s}$ eine Zufallsgröße ist. Wir können damit nicht den konkreten Wert von $V(\omega )$ explizit ausrechnen, sondern lediglich Aussagen über die Verteilung von $V$ machen.

Beispiel 4.1

Zeige, dass jede auf einem abgeschlossenen Intervall stetig differenzierbare Funktion von beschränkter 1-Variation auf diesem Intervall ist.

Lösung:

Sei $f$ auf $[a,b]$ stetig differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz existiert eine Konstante $K$, so dass für alle $a\leq s<t\leq b$ gilt $|f(t)-f(s)|\leq K(t-s)$. Somit gilt für jede Zerlegung $\tau =(t_{k})_{k=0}^{n}$

$\sum _{k=1}^{n}|f(t_{k})-f(t_{k-1})|\leq K\sum _{k=1}^{n}(t_{k}-t_{k-1})=K(b-a)<\infty .$

q.e.d.

Aufgabe 4.1

Sei $(W_{t})_{t\in [0,\infty )}$ ein Wiener-Prozess. Überprüfe, welche der folgenden Integrale als Riemann-Stieltjes-Integral existieren:

$\int _{0}^{1}e^{t}\,dW_{t},\quad \int _{0}^{1}\sin t\,dW_{t},\quad \int _{0}^{1}t^{3}\,dW_{t},\quad \int _{0}^{1}W_{t}\,dW_{t}.$

Anmerkung:

Offensichtlich sind für $\int _{0}^{1}W_{t}\,dW_{t}$ die Voraussetzungen von Satz 4.3 nicht erfüllt. Es ist in der Tat so, dass dieses Integral nicht als Riemann-Stieltjes-Integral existiert, obwohl man dies aus obigem Satz nicht direkt schlussfolgern kann, da die Bedingungen nur hinreichend sind.

4.2 Itô-Integral

Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski

„Es ist nöthig zu bemerken, daß die Unklarheit im Begriffe durch die Abstraktheit hervorgerufen wird, die bei der Anwendung auf wirkliche Messungen überflüssig wird.“ Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski, 1835

4.2.1 Einleitendes Beispiel

Wir wollen dem Ausdruck $\int _{0}^{T}W_{t}\,dW_{t}$ einen Sinn geben. Sei ${\mathcal {W}}=(W_{t})_{t\in [0,T]}$ ein Wiener-Prozess. Weiter sei $\tau _{n}=(t_{k})_{k=0}^{n}$ eine Zerlegung von $[0,T]$,

$0=t_{0}<...<t_{n}=T.$

Als Folge der Zwischenpunkte $\sigma _{n}$ wählen wir die linken Randpunkte, also $\sigma _{n}=(t_{0},t_{1},...,t_{n-1})$ und wir setzen

$\Delta _{k}{\mathcal {W}}:=W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}},\quad \Delta _{k}:=t_{k}-t_{k-1}\quad (k\in \{1,...,n\}).$

Wir bilden die Riemann-Stieltjes-Summe $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}W_{t_{k-1}}\Delta _{k}{\mathcal {W}}$.

(4.4) $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}W_{t_{k-1}}(W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}})$

(4.5) $=\sum _{k=1}^{n}W_{t_{k-1}}W_{t_{k}}-\sum _{k=0}^{n-1}W_{t_{k}}^{2}$

(4.6) $={\frac {1}{2}}W_{t_{n}}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}(W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}})^{2}$

(4.7) $={\frac {1}{2}}W_{T}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}(\Delta _{k}{\mathcal {W}})^{2}$

(4.8) $={\frac {1}{2}}W_{T}^{2}-{\frac {1}{2}}Q_{n}(T)$

mit $Q_{n}(T):=\sum _{k=1}^{n}(\Delta _{k}{\mathcal {W}})^{2}$.

Aufgabe 4.2

Zeige, dass gilt

(4.9) $\mathbb {E} Q_{n}(T)=T$ sowie $\operatorname {Var} Q_{n}(T)=2\sum _{k=1}^{n}(\Delta _{k})^{2}$

Aus (4.9) folgt

(4.10) $\mathbb {E} (Q_{n}(T)-T)^{2}=\operatorname {Var} Q_{n}(T)\leq 2T\max _{k\in \{1,...,n\}}\Delta _{k}.$

Für eine beliebige Zerlegungsnullfolge $(\tau _{n})_{n=1}^{\infty }$ erhalten wir also

$\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} (Q_{n}(T)-T)^{2}=0.$

Somit erhalten wir

(4.11) $\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} \left(S_{n}-{\frac {1}{2}}(W_{T}^{2}-T)\right)^{2}={\frac {1}{2}}\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} \left(Q_{n}(T)-T\right)^{2}=0.$

Im Sinne der $L_{2}$-Konvergenz (der Konvergenz im quadratischen Mittel) existiert also $\lim S_{n}$. Wir könnten damit das Integral $\int _{0}^{T}W_{t}\,dW_{t}$ folgendermaßen definieren:

$\int _{0}^{T}W_{t}\,dW_{t}={\frac {1}{2}}(W_{T}^{2}-T).$

Dabei ist aber folgendes zu beachten:

• Es wurden stets die linken Randpunkte in der Zerlegung als Zwischenpunkte genommen, während bei der Bildung des Riemann-Stieltjes-Integrals beliebige Zwischenpunkte eingesetzt werden.
• Es ist ein Grenzwert im Sinne der $L_{2}$-Konvergenz. Daraus folgt zwar die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, aber nicht die Konvergenz mit Wahrscheinlichkeit 1 (also die punktweise Konvergenz für $P$-fast alle Trajektorien).
• Wir werden im folgenden Kapitel allgemein ein Integral einführen, das die obige Eigenschaft hat.

Man beachte den Unterschied zu einem gewöhnlichen Riemann(-Stieltjes)-Integral: Ist $f:[0,T]\to \mathbb {R}$ differenzierbar mit $f(0)=0$, so erhält man durch partielle Integration

$\int _{0}^{T}f(x)\,df(x)=\int _{0}^{T}f(x)f'(x)\,dx={\frac {1}{2}}f^{2}(T).$

Aufgabe 4.3

Man wähle in der obigen Konstruktion für die Zwischenpunkte nicht die linken Randpunkte der Zerlegungsintervalle, sondern die Mitte, also $\sigma _{n}=(y_{1},...,y_{n})$ mit $y_{k}=(t_{k-1}+t_{k})/2$. Zeige, dass für die so gebildeten Riemann-Stieltjes-Summen ${\tilde {S}}_{n}$ im Sinne der $L_{2}$-Konvergenz gilt

$\int _{0}^{T}W_{s}\circ dW_{s}:=\lim _{n\to \infty }{\tilde {S}}_{n}={\frac {1}{2}}W_{T}^{2},$

es gilt also die klassische Integrationsformel. Dieses Integral nennt man Stratonovich-Integral. Beweise, dass die ${\tilde {S}}_{n}$ kein Martingal sind.

4.2.2 Das Itô-Integral für einfache Prozesse

Im folgenden sei das Intervall $[0,T]$ fixiert und es sei ${\mathcal {W}}=(W_{t})_{t\in [0,T]}$ ein Wiener-Prozess auf $[\Omega ,{\mathcal {F}},P]$, versehen mit der kanonischen Filtration $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}$ , also

${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (W_{s}:0\leq s\leq t)\quad (t\in [0,T]).$

Definition 4.3

Ein stochastischer Prozess ${\mathcal {C}}=(C_{t})_{t\in [0,T]}$ heißt einfach, falls eine endliche Zerlegung $\tau _{n}=(t_{k})_{k=0}^{n},0=t_{0}<...<t_{n}=T$ und eine Folge von Zufallsgrößen $(Z_{k})_{k=1}^{n}$ existieren mit folgenden Eigenschaften:

(i) $Z_{k}$ ist adaptiert an ${\mathcal {F}}_{t_{k-1}}$ und $\mathbb {E} Z_{k}^{2}<\infty$ für alle $k\in \{1,...,n\}$,

(4.12) (ii) $C_{t}={\begin{cases}Z_{k}&f{\ddot {u}}r\ t_{k-1}\leq t<t_{k},\quad k\in \{1,...,n-1\},\\Z_{n}&f{\ddot {u}}r\ t_{n-1}\leq t\leq t_{n}=T.\end{cases}}$

Definition 4.4

Das Itô-Integral eines einfachen Prozesses ${\mathcal {C}}=(C_{t})_{t\in [0,T]}$ auf $[0,T]$ ist gegeben durch

(4.13) $\int _{0}^{T}C_{s}\,dW_{s}:=\sum _{k=1}^{n}C_{t_{k-1}}(W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}})=\sum _{k=1}^{n}Z_{k}\Delta _{k}{\mathcal {W}}.$

Das Itô-Integral eines einfachen Prozesses ${\mathcal {C}}$ auf $[0,t],t\in [t_{j-1},t_{j}],j\in \{1,...,n\}$ ist gegeben durch

(4.14) $\int _{0}^{t}C_{s}\,dW_{s}:=\int _{0}^{T}C_{s}\mathbb {I} _{[0,t]}(s)\,dWs=\sum _{k=1}^{j-1}C_{t_{k-1}}\Delta _{k}{\mathcal {W}}+Z_{j}\left(W_{t}-W_{t_{j-1}}\right).$

Analog definiert man $\int _{a}^{t}C_{s}\,dW_{s}:=\int _{0}^{T}C_{s}\mathbb {I} _{[a,t]}(s)\,dWs$.

Aufgabe 4.4

Der stochastische Prozess $(I_{t}({\mathcal {C}}))_{t\in [0,T]}$,

$I_{t}({\mathcal {C}}):=\int _{0}^{t}C_{s}\,dW_{s}$

ist ein Martingal bezüglich der kanonischen Filtration.

Theorem 4.4 (Eigenschaften des Itô-Integrals)

1. (Erwartungswert Null)

(4.15) $\mathbb {E} I_{t}({\mathcal {C}})=0\quad (t\in [0,T]).$

2. (Isometrieeigenschaft)

(4.16) $\mathbb {E} (I_{t}({\mathcal {C}}))^{2}=\int _{0}^{t}\mathbb {E} (C_{s}^{2})\,ds\quad (t\in [0,T]).$