Benutzer:Theowoll/Levi-Civita-Symbol

Dies sind Erläuterungen zum Abschnitt Zusammenhang mit der Determinante im Wikipedia-Artikel Levi-Civita-Symbol.

Die Determinante einer -Matrix kann mit dem Levi-Civita-Symbol und der Summenkonvention wie folgt geschrieben werden:

.

Allgemeiner gilt der Zusammenhang

.

Herleitung dieser Gleichung:

Es ist . Also gilt wegen und nach Umbennung der Indizes in :

Durch Vertauschen der Faktoren erhält man

.

Weiterhin gilt

,

denn in beiden Faktoren ist der Vorzeichenwechsel durch die Permutation der Indizes derselbe. Oder man verwendet, das das Signum ein Homomorphismus von Gruppen ist:

.

(Man kann das Levi-Civita-Symbol als eine Abbildung auffassen.)

Multipliziere Gleichung (1) mit und setze Gleichungen (3) und (4) ein. Ändere die Bezeichung der Summationsindizes in , um die behauptete Gleichung zu erhalten. --Theowoll 12:58, 8. Okt. 2011 (CEST)