Benutzer:Treimer/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen

${}(a+b)^{n+1}$	${}\,=\,$ Nach Potenzgesetzen: ${}a^{n}*a^{m}=a^{(n+m)}$	${}(a+b)(a+b)^{n}$
	${}\,=\,$ Einsetzen der Induktionsvoraussetzungen.(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}*b^{n-k}	${}(a+b)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$
	${}\,=\,$ Distributivgesetz: (a+b)*k = (a*k) + (b*k)	${}a(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})+b(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})$
	${}\,=\,$ a und b werden in die Summen hereingezogen, nach Potenzgesetzen: Exponenten werden um 1 erhöht, a^k * a = a^(k+1)	${}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ 1. Summe: Summe läuft bis n+1 statt bis n, aus diesem Grund wird k um 1 erniedrigt ( k -> k-1). Für k = 0 ist der Binominalkoeffizient gleich 0, da n über -1 = 0 (s. Def). Also ändert man nichts am Summenergebnis. 2. Summe: Summe läuft bis n+1 statt bis n. Für k = n+1 ist der Binominalkoeffizient gleich 0, da n über n+1 = 0 (s. Def). Also ändert man nichts am Summenergebnis.	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ Da beide Summen von 0 bis n+1 laufen, kann man diese zu einer Summe zusammenfassen. Außerdem stehen in beiden Summen der Term a^{k} b^{n+1-k}, dieser wurde ausgeklammert.	${}\sum _{k=0}^{n+1}({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}})a^{k}b^{n+1-k}$
	${}\,=\,$ Nach Definition (Siehe auch Aufgabe 5 von Blatt 12) lassen sich die Binomialkoeffizienten zusammenfassen. (\binom {n} {k-1} + \binom {n} {k}) = \binom {n+1} {k}	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}$