Benutzer:Watchduck/Spielwiese

Beispiele zur Aussagenlogik: Fahrer und Sanitäter

Eine Aussage wird eindeutig bestimmt durch die Menge aller Fälle, in denen sie wahr ist.
Diese Menge könnte man die Gültigkeitsmenge einer Aussage nennen.
Haben zwei Aussagen die gleiche Gültigkeitsmenge, so sind sie gleich.

Die Gültigkeitsmenge einer Negation ist das Komplement der ursprünglichen Gültigkeitsmenge.
D.h. um die Negation einer Aussage zu kennen, muss man die Menge aller denkbaren Fälle kennen.

Diese Menge aller denkbaren Fälle kann man als Gültigkeitsmenge einer Aussage auffassen: Ihr entspricht dann die Tautologie.
Ebenso entspricht der leeren Menge die Kontradiktion.

Fälle die der Fall sein können und Aussagen die man sagen kann sind grundsätzlich versachiedene Objekte.
Wenn es n denkbare Fälle gibt, gibt es 2ⁿ Aussagen.
Allerdings ist eine Aussagen mit einelementiger Gültigkeitsmenge leicht mit dem einen Fall zu verwechseln, den ihre Gültigkeitsmenge enthält,
also mit dem einzigen Fall in dem sie wahr ist.

Ein einzelner Mitarbeiter

Man kann sich dafür interessieren, ob ein Mitarbeiter Fahrer oder Sanitäter ist.
Es gibt genau vier Möglichkeiten, wie er diese Fähigkeiten haben oder nicht haben kann:

• Er ist weder F, noch S.
• Er ist F, aber nicht S.
• Er ist nicht F, aber S.
• Er ist F und S.

In Bezug auf diese Fähigkeiten gibt es nun 2⁴ = 16 Aussagen, die man über einen einzelnen Mitarbeiter sagen kann:

• 
• "Er ist weder F, noch S."
• "Er ist F, aber nicht S."
• 

• "Er ist nicht F, aber S."
• 
• "Er ist entweder F oder S."
• 

• "Er ist F und S."
• 
• "Er ist F."
• 

• "Er ist S."
• 
• "Er ist F oder S."
• 

Eine Gruppe von Mitarbeitern

Man kann sich dafür interessieren, ob auf eine Gruppe von Mitarbeitern folgende Aussagen zutreffen:

• "Jemand ist weder F noch S."
• "Jemand ist F, aber nicht S."
• "Jemand ist nicht F, aber S."
• "Jemand ist F und S."

Diese widersprechen sich nicht untereinander. Nimmt man an, dass die Gruppe aus mindestens einer Person besteht, sind 15 Fälle denkbar:

• Alle sind weder F noch S.
• Alle sind F, aber nicht S.
• Es gibt F und nicht-F, die alle keine S sind.

• Alle sind nicht F, aber S.
• Es gibt S und nicht-S, die alle keine F sind.
• Alle haben genau eine Fähigkeit. Es gibt F und S.
• 

• Alle sind F und S.
• 
• 
• 

• 
• 
• 
• 

Damit gibt es 2¹⁵ = 32768 Aussagen, die man sagen kann.

Z.B. "Alle F sind S."