Vorraussetzung: Schulmathematik
Matrizen und Determinanten
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Das Levi-Civita-Symbol in n Dimensionen hat n Indizes, die gewöhnlich von 1 bis n (für manche Anwendungen auch von 0 bis n -1) laufen. Es wird durch folgende Eigenschaften definiert:
ε
12
…
n
=
1
{\displaystyle \varepsilon _{12\dots n}=1}
Unter Vertauschung zweier Indizes ändert es das Vorzeichen:
ε
i
j
…
u
…
v
…
=
−
ε
i
j
…
v
…
u
…
{\displaystyle \varepsilon _{ij\dots u\dots v\dots }=-\varepsilon _{ij\dots v\dots u\dots }}
Falls zwei Indizes gleich sind, ist der Wert null:
ε
i
j
…
u
…
u
…
=
0
{\displaystyle \varepsilon _{ij\dots u\dots u\dots }=0}
Gleichwertig ist die Definition
ε
i
j
k
…
=
{
+
1
,
falls
(
i
,
j
,
k
,
…
)
eine gerade Permutation von
(
1
,
2
,
3
,
…
)
ist,
−
1
,
falls
(
i
,
j
,
k
,
…
)
eine ungerade Permutation von
(
1
,
2
,
3
,
…
)
ist,
0
,
wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.
{\displaystyle \varepsilon _{ijk\dots }={\begin{cases}+1,&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine gerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\-1,&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine ungerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\0,&{\mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}}\end{cases}}}
Für den dreidimensionalen Fall lässt sich das Levi-Civita-Symbol geschlossen definieren als
ε
i
j
k
=
−
[
(
i
−
j
)
2
%
3
]
[
(
i
−
k
)
2
%
3
]
[
(
j
−
k
)
2
%
3
]
[
(
j
−
(
i
%
3
)
−
1
2
)
2
−
5
4
]
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}=-[(i-j)^{2}\%3][(i-k)^{2}\%3][(j-k)^{2}\%3][(j-(i\%3)-{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {5}{4}}]}
wobei
%
{\displaystyle \%}
i
,
j
,
k
∈
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle i,j,k\in \lbrace 1,2,3\rbrace }
Levi-Civita-Symbol Zur Illustration betrachte man den dreidimensionalen Fall. Lediglich sechs der 27 Komponenten von
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
ε
123
=
ε
312
=
ε
231
=
1
,
{\displaystyle \varepsilon _{123}=\varepsilon _{312}=\varepsilon _{231}=1,}
ε
321
=
ε
213
=
ε
132
=
−
1.
{\displaystyle \varepsilon _{321}=\varepsilon _{213}=\varepsilon _{132}=-1.}
Zahlenbeispiel anhand der Einheitsvektoren im
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
ε
123
=
e
1
→
⋅
(
e
2
→
×
e
3
→
)
=
(
1
0
0
)
⋅
(
(
0
1
0
)
×
(
0
0
1
)
)
=
(
1
0
0
)
⋅
(
1
0
0
)
=
1
{\displaystyle \varepsilon _{123}={\vec {e_{1}}}\cdot ({\vec {e_{2}}}\times {\vec {e_{3}}})={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}=1}
In obigem Beispiel erkennt man ferner eine Invarianz unter zyklischer Permutation der Indizes. Dies gilt allgemein nur dann, wenn n ungerade ist. Im anderen Fall geht eine zyklische Permutation mit einem Vorzeichenwechsel einher.
Das Symbol bezeichnet die Komponenten kovarianten Tensors n -ter Stufe.
Herleitung der Determinantenschreibweise
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ε
i
j
k
=
e
→
i
(
e
→
j
×
e
→
k
)
=
∑
l
=
1
3
e
i
,
l
(
e
→
j
×
e
→
k
)
l
=
∑
l
=
1
3
∑
m
,
n
=
1
3
ε
l
m
n
e
i
,
l
e
j
,
m
e
k
,
n
=
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\vec {e}}_{i}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k})=\sum _{l=1}^{3}e_{i,l}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k})_{l}=\sum _{l=1}^{3}\sum _{m,n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}e_{i,l}e_{j,m}e_{k,n}=}
=
e
i
,
1
(
e
j
,
2
e
k
,
3
−
e
j
,
3
e
k
,
2
)
−
e
i
,
2
(
e
j
,
3
e
k
,
1
−
e
j
,
1
e
k
,
3
)
+
e
i
,
3
(
e
j
,
1
e
k
,
2
−
e
j
,
2
e
k
,
1
)
=
{\displaystyle \!\,=e_{i,1}(e_{j,2}e_{k,3}-e_{j,3}e_{k,2})-e_{i,2}(e_{j,3}e_{k,1}-e_{j,1}e_{k,3})+e_{i,3}(e_{j,1}e_{k,2}-e_{j,2}e_{k,1})=}
Nach der Regel von Sarrus gilt:
=
e
i
,
1
|
e
j
,
2
e
j
,
3
e
k
,
2
e
k
,
3
|
+
e
i
,
2
|
e
j
,
1
e
j
,
3
e
k
,
1
e
k
,
3
|
+
e
i
,
3
|
e
j
,
1
e
j
,
2
e
k
,
1
e
k
,
2
|
=
|
e
i
,
1
e
i
,
2
e
i
,
3
e
j
,
1
e
j
,
2
e
j
,
3
e
k
,
1
e
k
,
2
e
k
,
3
|
{\displaystyle =e_{i,1}{\begin{vmatrix}e_{j,2}&e_{j,3}\\e_{k,2}&e_{k,3}\end{vmatrix}}+e_{i,2}{\begin{vmatrix}e_{j,1}&e_{j,3}\\e_{k,1}&e_{k,3}\end{vmatrix}}+e_{i,3}{\begin{vmatrix}e_{j,1}&e_{j,2}\\e_{k,1}&e_{k,2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}e_{i,1}&e_{i,2}&e_{i,3}\\e_{j,1}&e_{j,2}&e_{j,3}\\e_{k,1}&e_{k,2}&e_{k,3}\end{vmatrix}}}
ε
i
j
k
…
=
{
+
1
,
falls
(
i
,
j
,
k
,
…
)
eine gerade Permutation von
(
1
,
2
,
3
,
…
)
ist,
−
1
,
falls
(
i
,
j
,
k
,
…
)
eine ungerade Permutation von
(
1
,
2
,
3
,
…
)
ist,
0
,
wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.
{\displaystyle \varepsilon _{ijk\dots }={\begin{cases}+1,&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine gerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\-1,&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine ungerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\0,&{\mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}}\end{cases}}}
=>
e
→
i
(
e
→
j
×
e
→
k
)
=
ϵ
i
j
k
=
ϵ
i
j
k
=
ϵ
k
i
j
=
ϵ
j
k
i
=
−
ϵ
k
j
i
=
−
ϵ
j
i
k
{\displaystyle =>{\vec {e}}_{i}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k})=\epsilon _{ijk}=\epsilon _{ijk}=\epsilon _{kij}=\epsilon _{jki}=-\epsilon _{kji}=-\epsilon _{jik}}
ϵ
i
j
k
=
|
e
i
,
1
e
i
,
2
e
i
,
3
e
j
,
1
e
j
,
2
e
j
,
3
e
k
,
1
e
k
,
2
e
k
,
3
|
{\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{vmatrix}e_{i,1}&e_{i,2}&e_{i,3}\\e_{j,1}&e_{j,2}&e_{j,3}\\e_{k,1}&e_{k,2}&e_{k,3}\end{vmatrix}}}
![{\displaystyle \varepsilon _{ijk}=-[(i-j)^{2}\%3][(i-k)^{2}\%3][(j-k)^{2}\%3][(j-(i\%3)-{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {5}{4}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab4f9687fdd29f3e059460b812154f9654e49f7)
