Berechenbarkeit/Beta-Funktion/Definition

${}\beta$-Funktion

Unter der ${}\beta$-Funktion versteht man die Abbildung

$\mathbb {N} ^{3}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(p,n,i)\longmapsto \beta (p,n,i),$

die folgendermaßen festgelegt ist. ${}\beta (p,n,i)$ ist die kleinste Zahl ${}a\in \mathbb {N}$, die die Bedingung erfüllt, dass es natürliche Zahlen ${}b_{0},b_{1},b_{2}$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:

1. ${}n=b_{0}+b_{1}{\left((i+1)+ap+b_{2}p^{2}\right)}$.
2. ${}a<p$.
3. ${}b_{0}<b_{1}$.
4. ${}b_{1}$ ist eine Quadratzahl.
5. Alle Teiler ${}d\neq 1$ von ${}b_{1}$ sind ein Vielfaches von ${}p$.

Wenn kein solches ${}a$ existiert, so ist ${}\beta (p,n,i)=0$.