Beringter Raum/Modulgarben/Tensorprodukt/Prägarbe/Halm/Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ Modulgarben auf ${}X$. Zeige, dass der Halm der Prägarbe

$U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$

in einem Punkt ${}P\in X$ gleich

${}{\begin{aligned}\operatorname {colim} _{\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}\,P\in U&={\left(\operatorname {colim} _{\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}}\,P\in U\right)}\otimes _{\left(\operatorname {colim} _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\,P\in U\right)}{\left(\operatorname {colim} _{\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}\,P\in U\right)}\\&={\mathcal {F}}_{P}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,P}}{\mathcal {G}}_{P}\end{aligned}}$

ist.

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