Beringter Raum/Morphismus/Modul/Rückzug/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ ein Morphismus beringter Räume und ${}{\mathcal {G}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modul auf ${}Y$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Der zurückgezogene Modul ${}\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ ist ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul.
2. Es ist

   ${}\varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}\,.$

3. Zu einer lokal freien Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}Y$ vom Rang ${}r$ ist ${}\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ eine lokale freie Garbe auf ${}X$ vom Rang ${}r$.
4. Zu einer offenen Teilmenge ${}V\subseteq Y$ ist

   ${}i_{V}^{*}({\mathcal {G}})=i_{V}^{-1}({\mathcal {G}})={\mathcal {G}}{|}V\,.$

5. Für einen Morphismus

   $\psi \colon (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow (Z,{\mathcal {O}}_{Z})$

   in einen weiteren beringten Raum und einen ${}{\mathcal {O}}_{Z}$-Modul ${}{\mathcal {H}}$ ist ${}\varphi ^{*}{\left(\psi ^{*}{\mathcal {H}}\right)}={\left(\psi \circ \varphi \right)}^{*}{\mathcal {H}}$.

6. Zu einer offenen Teilmenge ${}V\subseteq Y$ ist

   ${}{\left(\varphi ^{*}{\mathcal {G}}\right)}{|}_{\varphi ^{-1}(V)}={\left(\varphi ^{*}{\mathcal {G}}\right)}{|}_{V}\,.$

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