Bernoulli-Dreieck/Arithmetisches Mittel/Interpretation/Aufgabe/Lösung

1. Es ergibt sich das folgende Schema.

   ${\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&\\&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{4}}&\\&{\frac {1}{8}}&&{\frac {3}{8}}&&{\frac {3}{8}}&&{\frac {1}{8}}&\\{\frac {1}{16}}&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {3}{8}}&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{16}}\end{matrix}}$

2. Der Induktionsanfang ist klar, da in der nullten Zeile eine einzige ${}1$ steht. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei bereits bewiesen, dass die Summe in der ${}n$-ten Zeile gleich ${}1$ ist. Jeder Eintrag der ${}n$-ten Zeile geht zweifach in die nächste Zeile ein, nämlich einmal als Teil des arithmetischen Mittels mit dem linken Nachbarn und einmal als Teil des arithmetischen Mittels mit dem rechten Nachbarn. Beides mal wird dabei die Hälfte des Eintrages verwendet. Die Gesamtsumme ist also wieder gleich ${}1$.
3. Es ist

   ${}B_{{\frac {1}{2}},n}(k)={\binom {n}{k}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}\,.$

   Für ${}n=0$ ist

   ${}B_{{\frac {1}{2}},0}(0)=1\cdot {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{0}=1\,,$

   was mit der nullten Zeile übereinstimmt. Es gilt nach Fakt

   ${}{\begin{aligned}B_{{\frac {1}{2}},n+1}(k)&={\binom {n+1}{k}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n+1}\\&={\left({\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right)}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n+1}\\&={\binom {n}{k}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n+1}+{\binom {n}{k-1}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n+1}\\&={\frac {1}{2}}{\binom {n}{k}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}+{\frac {1}{2}}{\binom {n}{k-1}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}\\&={\frac {1}{2}}B_{{\frac {1}{2}},n}(k)+{\frac {1}{2}}B_{{\frac {1}{2}},n}(k-1),\end{aligned}}$

   d.h. ${}B_{{\frac {1}{2}},n+1}(k)$ ist das arithmetische Mittel von ${}B_{{\frac {1}{2}},n}(k)$ und ${}B_{{\frac {1}{2}},n}(k-1)$. Die Zahlen in der Binomialverteilung erfüllen also die rekursive Bedingungen aus Teil (1). Daher stehen in der ${}n$-ten Zeile des Dreiecks die Zahlen der Binomialverteilung.

Zur gelösten Aufgabe