Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt

Es sei ${}M=\{0,1\}$ mit der Bernoulli-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit ${}p$ versehen und es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei

${}N=M^{n}\,$

das ${}n$-fache Produkt von ${}M$ mit sich selbst.

Dann besitzt zu ${}k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ das Ereignis

${}E_{k}={\left\{{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\in M^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}x_{i}=k\right\}}\,$

die Wahrscheinlichkeit

${}B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen