Bernoulli-Zahlen/Summe mit Binomialkoeffizienten/Fakt/Beweis

Beweis

Aus der Bedingung

${}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}z^{k}\right)}=z\,$

folgt

${}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)!}}z^{k}\right)}=1\,.$

Daraus folgt ${}B_{0}=0$. Der Koeffizient zu ${}z^{m}$ zu ${}m\geq 1$ der Produktreihe ist

${}\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}B_{n}\cdot {\frac {1}{m-n+1}}=0\,.$

Multipliziert mit ${}m+1$ ergibt sich

${}{\begin{aligned}(m+1){\left(\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}B_{n}\cdot {\frac {1}{m-n+1}}\right)}&=\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}\cdot {\frac {m+1}{m-n+1}}\cdot B_{n}\\&=\sum _{n=0}^{m}{\binom {m+1}{n}}B_{n}\\&=0.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage