Beschränkte und kompakte Teilmengen/Produktmenge/Beschränkt und kompakt/Aufgabe/Lösung

a) Da die Mengen beschränkt sind, gibt es reelle Zahlen ${}b$ und ${}c$ mit

${}d(x,y)\leq b\,$

für ${}x,y\in T_{1}$ und mit

${}d(u,v)\leq c\,$

für ${}u,v\in T_{2}$. Ausgeschrieben bedeutet dies, dass

${}{\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\leq b\,$

und

${}{\sqrt {(u_{1}-v_{1})^{2}+\cdots +(u_{m}-v_{m})^{2}}}\leq c\,$

sind. Durch Quadrieren erhält man für ein Punktepaar ${}P=(x_{1},\ldots ,x_{n},u_{1},\ldots ,u_{m})\in T_{1}\times T_{2}$ ${}Q=(y_{1},\ldots ,y_{n},v_{1},\ldots ,v_{m})\in T_{1}\times T_{2}$ die Abschätzung

${}d(P,Q)^{2}=(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}+(u_{1}-v_{1})^{2}+\cdots +(u_{m}-v_{m})^{2}\leq b^{2}+c^{2}\,$

und somit

${}d(P,Q)\leq {\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\,.$

Also ist ${}T_{1}\times T_{2}$ beschränkt.

b) Kompakt bedeutet beschränkt und abgeschlossen. Wir zeigen, dass wenn ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ abgeschlossen sind, dass dann auch das Produkt ${}T_{1}\times T_{2}$ abgeschlossen ist, woraus mit Teil (a) die Aussage folgt. Die Abgeschlossenheit einer Teilmenge im ${}\mathbb {R} ^{k}$ kann man mit dem Folgenkriterium überprüfen. Es sei also ${}P_{i}=(x_{i},u_{i})=x_{i}=(x_{1i},\ldots ,x_{ni})$ eine Folge in ${}T_{1}\times T_{2}$, die in ${}\mathbb {R} ^{n+m}$ konvergiere, sagen wir gegen den Grenzwert ${}P=(x_{1},\ldots ,x_{n},u_{1},\ldots ,u_{m})$ . Nach Fakt konvergiert dann jede Komponentenfolge und daher konvergieren die beiden Folgen ${}x_{i}=(x_{1i},\ldots ,x_{ni})$ und ${}v_{i}=(v_{1i},\ldots ,v_{mi})$,

und zwar gegen ${}x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und ${}u=(u_{1},\ldots ,u_{m})$. Da diese Folgen in ${}T_{1}$ bzw. ${}T_{2}$ liegen und diese beiden Mengen abgeschlossen sind, ist ${}x\in T_{1}$ und ${}u\in T_{2}$. Also ist ${}P=(x,u)\in T_{1}\times T_{2}$ und somit ist die Produktmenge abgeschlossen.

Zur gelösten Aufgabe