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Bestimmtes Integral/x durch dritte Wurzel aus 5x+1/0 bis 1/Aufgabe/Lösung
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Bestimmtes Integral/x durch dritte Wurzel aus 5x+1/0 bis 1/Aufgabe
Wir arbeiten mit der bijektiven Substitution
y
=
5
x
+
1
3
{\displaystyle {}y={\sqrt[{3}]{5x+1}}\,}
mit der Umkehrfunktion
x
=
y
3
−
1
5
{\displaystyle {}x={\frac {y^{3}-1}{5}}\,}
und
d
x
=
3
y
2
5
d
y
.
{\displaystyle {}dx={\frac {3y^{2}}{5}}dy\,.}
Somit ist
∫
0
1
x
5
x
+
1
3
d
x
=
∫
1
6
3
y
3
−
1
5
y
⋅
3
y
2
5
d
y
=
3
25
∫
1
6
3
y
4
−
y
d
y
=
3
25
[
1
5
y
5
−
1
2
y
2
]
1
6
3
=
3
25
(
1
5
6
3
5
−
1
2
6
3
2
−
1
5
+
1
2
)
=
3
125
6
5
3
−
3
50
6
2
3
+
9
250
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt[{3}]{5x+1}}}dx&=\int _{1}^{\sqrt[{3}]{6}}{\frac {\frac {y^{3}-1}{5}}{y}}\cdot {\frac {3y^{2}}{5}}dy\\&={\frac {3}{25}}\int _{1}^{\sqrt[{3}]{6}}y^{4}-ydy\\&={\frac {3}{25}}[{\frac {1}{5}}y^{5}-{\frac {1}{2}}y^{2}]_{1}^{\sqrt[{3}]{6}}\\&={\frac {3}{25}}{\left({\frac {1}{5}}{\sqrt[{3}]{6}}^{5}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{6}}^{2}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{2}}\right)}\\&={\frac {3}{125}}6^{\frac {5}{3}}-{\frac {3}{50}}6^{\frac {2}{3}}+{\frac {9}{250}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe