Betrag x mal y/Ableitungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}v=\left(c,\,d\right)$ der Richtungsvektor, bei der Richtungsableitung geht es darum, ob die Abbildung

   ${}h(t)=f(0+tv)=f(tc,td)=\vert {tc}\vert \cdot td=t\vert {t}\vert \vert {c}\vert \cdot d\,$

   im Nullpunkt als Funktion in ${}t$ differenzierbar ist. Dies ist stets der Fall (mit dem Wert ${}0$), da der Differenzenquotient zu ${}t\vert {t}\vert$ von beiden Seiten her gegen ${}0$ konvergiert.

2. Es sei ${}P=\left(a,\,b\right)$ und ${}v=\left(c,\,d\right)$. Es sei zunächst ${}a=0$ und ${}b\neq 0$. Es geht um die Abbildung

   ${}h(t)=f(P+tv)=f(tc,b+td)=\vert {tc}\vert \cdot {\left(b+td\right)}=\vert {t}\vert \vert {c}\vert \cdot {\left(b+td\right)}\,.$

   Bei ${}c=0$ handelt es sich um die Nullfunktion, die differenzierbar ist. Es sei also ${}c\neq 0$. Es ist

   ${}\vert {t}\vert \vert {c}\vert \cdot {\left(b+td\right)}=\vert {t}\vert \vert {c}\vert b+\vert {t}\vert td\,.$

   Der zweite Summand ist differenzierbar in ${}0$, der erste aber nicht, daher ist diese Abbildung nicht differenzierbar und diese Richtungsableitungen existieren nicht.

   Für ${}a\neq 0$ siehe den nächsten Teil.

3. Im Nullpunkt ist die Abbildung total differenzierbar mit dem totalen Differential ${}0$. Dazu ist zu zeigen, dass ${}{\frac {\vert {c}\vert d}{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}$ für ${}\left(c,\,d\right)\rightarrow 0$ gegen ${}0$ konvergiert. Dies folgt direkt aus der Abschätzung

   ${}\vert {\frac {\vert {c}\vert d}{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}\vert ={\frac {\vert {c}\vert \vert {d}\vert }{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}\leq {\frac {{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}\cdot {\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}}}\,.$

   Für einen Punkt der Form ${}\left(0,\,b\right)$ mit ${}b\neq 0$ existieren nach dem zweiten Teil nicht alle Richtungsableitungen und daher ist ${}f$ in diesen Punkten auch nicht total differenzierbar. Es sei nun ${}P=\left(a,\,b\right)$ mit ${}a\neq 0$. Dann gibt es eine hinreichend kleine ${}\epsilon$-Umgebung ${}U$ von ${}P$ derart, dass die erste Koordinate der Punkte aus ${}U$ das gleiche Vorzeichen hat wie ${}a$. Auf ${}U$ ist

   ${}f(x,y)=\vert {x}\vert y=\pm xy\,$

   und daher ist ${}f$ in diesen Punkten total differenzierbar. Daher existieren in diesen Punkten auch alle Richtungsableitungen.

Zur gelösten Aufgabe