Betragsfunktion/Stammfunktion/Aufgabe/Lösung

Für ${}x>0$ ist

${}\vert {x}\vert =x\,$

und dort ist ${}{\frac {1}{2}}x^{2}$ eine Stammfunktion. Für ${}x<0$ ist

${}\vert {x}\vert =-x\,$

und dort ist ${}-{\frac {1}{2}}x^{2}$ eine Stammfunktion. Diese beiden Funktionen kann man im Nullpunkt durch den Wert ${}0$ stetig zusammensetzen. Es ist dann noch zu zeigen, dass die zusammengesetzte Funktion auch im Nullpunkt differenzierbar ist mit der Ableitung ${}0$. Dazu betrachten wir den Differenzenquotienten

${}{\frac {\pm x^{2}}{\pm x}}=\pm x\,.$

Der Limes hiervon für ${}x\rightarrow 0$ ist in der Tat ${}0$.

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