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Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis
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Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt
Beweis
Dies folgt aus
φ
−
1
(
h
1
h
2
)
=
φ
−
1
(
φ
(
φ
−
1
(
h
1
)
)
φ
(
φ
−
1
(
h
2
)
)
)
=
φ
−
1
(
φ
(
φ
−
1
(
h
1
)
φ
−
1
(
h
2
)
)
)
=
φ
−
1
(
h
1
)
φ
−
1
(
h
2
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(h_{1}h_{2})&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi (\varphi ^{-1}(h_{1}))\varphi (\varphi ^{-1}(h_{2}))\right)}\\&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi {\left(\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2})\right)}\right)}\\&=\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2}).\end{aligned}}}
Zur bewiesenen Aussage
