Binäre Diedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta$ eine ${}2n$-te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise

${}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{2n}}=e^{\frac {\pi {\mathrm {i} }}{n}}\,.$

Die von den Matrizen

$A=A_{2n}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}$

erzeugte Untergruppe der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ heißt die binäre Diedergruppe. Sie wird mit ${}BD_{n}$ bezeichnet. Das Element ${}A$ besitzt die Ordnung ${}2n$ und es ist

${}A^{n}={\begin{pmatrix}\zeta ^{n}&0\\0&\zeta ^{-n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=B^{2}\,.$

Insbesondere besitzt ${}B$ die Ordnung ${}4$. Es ist

${}BA={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\zeta ^{-1}\\{\mathrm {i} }\zeta &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\zeta ^{-1}&0\\0&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}=A^{2n-1}B\,.$

Somit lassen sich alle Elemente der Gruppe als

$A^{i}B^{j}{\text{ mit }}0\leq i\leq 2n-1,\,0\leq j\leq 1,$

schreiben. Da ${}B$ nicht zu der von ${}A$ erzeugten Untergruppe gehört und (bei ${}n\geq 2$) umgekehrt, ist diese Darstellung bei ${}n\geq 2$ eindeutig und ${}BD_{n}$ besitzt genau ${}4n$ Elemente. Es liegt die Untergruppenbeziehung ${}Z_{2n}\subseteq BD_{n}$ vom Index ${}2$ vor.