Binomiale Gleichungen/Exponentengleichungen/Textabschnitt

Es seien Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ und eine Familie von binomialen Gleichungen

${}X^{\mu _{j}}=X^{\nu _{j}}\,$

zu ${}j\in J$ gegeben. Zum Ideal

${}{\left(X^{\mu _{j}}-X^{\nu _{j}},j\in J\right)}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

gehören neben anderen Polynomen auch noch viele weitere binomiale Polynome und im Restklassenring, also dem affinen Koordinatenring der durch die binomialen Gleichungen definierten affin-algebraischen Menge gelten noch weitere binomiale Identitäten. Wenn beispielsweise ${}X^{2}-Y^{3}$ zur definierenden Familie gehört, so gilt auch

${}YX^{2}=Y^{4}\,$

und wenn auch noch ${}X^{2}-Z^{5}$ dazu gehört, so gilt im Restklassenring auch

${}Y^{3}=Z^{5}\,.$

Diese Gleichungen haben nichts mit dem gewählten Grundkörper oder Grundring zu tun, sie beruhen vielmehr auf Identitäten in den Exponententupeln ${}\nu \in \mathbb {N} ^{n}$. Die Gleichheit

${}X^{\mu }=X_{1}^{\mu _{1}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}}=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}=X^{\nu }\,,$

die im Restklassenring gilt, kann man so verstehen, dass auf der Exponentenebene die Gleichung

${}\left({\mu _{1}},\,\ldots ,\,{\mu _{n}}\right)=\left({\nu _{1}},\,\ldots ,\,{\nu _{n}}\right)\,$

gelten soll. Da die Gleichheit ${}X^{\mu }=X^{\nu }$ im Restklassenring auch die Gleichheit ${}X^{\mu }X^{\lambda }=X^{\nu }X^{\lambda }$ für alle Exponententupel ${}\lambda$ erzwingt, sollte auf der Ebene der Exponenten die Gleichheit

${}\mu +\lambda =\nu +\lambda \,$

gelten. Man beachte, dass man diese Gleichheit additiv schreiben muss, da eine Addition der Exponenten der Multiplikation der Monome entspricht. Wir fragen uns, was das richtige Konzept für eine Exponentenmenge ist, und wie man aus ihr bei gegebenem Grundring ${}K$ eine Algebra konstruieren kann, in der dann genau die durch die in der Exponentenmenge codierten Gleichungen für die Monome gelten.

${\begin{matrix}{\text{ Exponententupel }}&&{\text{ Algebra }}\\\mathbb {N} ^{n}&{\stackrel {?}{\mapsto }}&K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\\?&{\stackrel {?}{\mapsto }}&K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X^{\mu _{j}}-X^{\nu _{j}},j\in J\right)}\end{matrix}}.$

Diese Fragestellung führt zu Monoidringen. Da auf der Algebraseite eine Restklassenbildung (modulo dem binomialen Ideal) vorliegt, kann man sich fragen, wie auf der Exponentenseite eine entsprechende Konstruktion aussehen muss. Zwar ist ${}\mathbb {N} ^{n}$ keine Gruppe, es ist aber dennoch einfach, ein passendes Konzept zu entwickeln.

Definition

Man sagt, dass eine Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einem kommutativen Monoid ${}(M,0,+)$ mit der Verknüpfung verträglich ist, wenn aus ${}\mu \sim \nu$ und ${}\lambda \sim \kappa$ stets ${}\mu +\lambda \sim \nu +\kappa$ für alle ${}\mu ,\nu ,\lambda ,\kappa \in M$ gilt.

Es lässt sich direkt zeigen, dass auf der Quotientenmenge ${}M/\sim$ zu einer mit der Verknüpfung verträglichen Äquivalenzrelation eine eindeutig bestimmte Monoidstruktur derart existiert, dass die kanonische Abbildung ${}M\rightarrow M/\sim$ ein Monoidhomomorphismus ist, siehe Aufgabe.