Binomialkoeffizient/Lotto/Teilmengenanzahl/Wahrscheinlichkeit/Beispiel

In Beispiel haben wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, ${}6$ Kugeln aus ${}49$ Kugeln zu ziehen, und zwar gibt es

${}{\binom {49}{6}}={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=13983816\,$

Möglichkeiten, da es so viele sechselementige Teilmengen gibt. Diese haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, somit liegt ein Laplace-Raum vor, wobei die einzelnen Elementarereignisse, also eine bestimmte Ziehung, die Wahrscheinlichkeit

${\frac {1}{13983816}}$

besitzen.

Wenn man sich für die Wahrscheinlichkeit interessiert, dass die ${}11$ gezogen wird, so muss man alle sechselementigen Teilmengen zählen, in denen die ${}11$ vorkommt. Da die ${}11$ festgelegt ist, geht es um die Anzahl der fünfelementigen Teilmengen der Menge ${}\{1,2,\ldots ,49\}\setminus \{11\}$, diese Anzahl ist durch ${}{\binom {48}{5}}$ gegeben. Die Wahrscheinlichkeit ist also

${}{\frac {\binom {48}{5}}{\binom {49}{6}}}={\frac {\,\,{\frac {48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{\,\,{\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}}={\frac {6}{49}}\,,$

was man sich auch so klar machen kann: Die Wahrscheinlichkeit, dass die zuerst gezogene Zahl eine ${}11$ ist, beträgt ${}{\frac {1}{49}}$, die Wahrscheinlichkeit, dass die als zweite gezogene Zahl eine ${}11$ ist, beträgt ebenfalls ${}{\frac {1}{49}}$, u.s.w., und aufsummieren der disjunkten Ereignisse liefert auch ${}{\frac {6}{49}}$.

Wenn man sich für die Wahrscheinlichkeit interessiert, dass sowohl die ${}11$ als auch die ${}37$ gezogen werden, so muss man alle sechselementigen Teilmengen zählen, in denen die ${}11$ und die ${}37$ vorkommen. Dies ergibt die Wahrscheinlichkeit

${}{\frac {\binom {47}{4}}{\binom {49}{6}}}={\frac {\,\,{\frac {47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{\,\,{\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}}={\frac {6\cdot 5}{49\cdot 48}}={\frac {5}{49\cdot 8}}={\frac {5}{392}}\,.$