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Binomialverteilung/Varianz/Fakt
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Dann ist
∑
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
{
0
,
1
}
n
(
∑
i
=
1
n
x
i
−
n
p
)
2
P
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle {}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}-np\right)}^{2}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=np(1-p)\,}
und
∑
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
{
0
,
1
}
n
(
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
−
p
)
2
P
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
p
(
1
−
p
)
n
.
{\displaystyle {}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p\right)}^{2}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {p(1-p)}{n}}\,.}
Zum Beweis
,
Alternativen Beweis erstellen
