Biquadratische Erweiterung/Nicht monogen/Beispiel

Wir betrachten die biquadratische Erweiterung

${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X,Y]/(X^{2}-7,Y^{2}-19)\,.$

Dieser Ganzheitsring lässt sich nicht in der Form ${}\mathbb {Z} [W]/(F)$ schreiben. Modulo ${}(3)$ ist der Faserring gleich

$\mathbb {Z} /(3)[X,Y]/(X^{2}-7,Y^{2}-19)=\mathbb {Z} /(3)[X,Y]/(X^{2}-1,Y^{2}-1)=\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(3)\,,$

er besitzt also vier maximale Ideale, alle mit dem Restekörper ${}\mathbb {Z} /(3)$. Ein Ring der Form ${}\mathbb {Z} /(3)[W]/(F)$ kann aber nur drei maximale Ideale mit dem Restekörper ${}\mathbb {Z} /(3)$ besitzen, da es in ${}\mathbb {Z} /(3)$ nur drei Elemente gibt. Es folgt, dass der Ganzheitsring auch nicht über der Lokalisierung ${}\mathbb {Z} _{(3)}$ mit einem einzigen Algebraerzeuger beschrieben werden kann.